Zadanie nr 9352753
Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej w czworościan foremny do objętości kuli opisanej na tym czworościanie.
Rozwiązanie
Zróbmy rysunek.
Środek kuli opisanej na czworościanie to punkt, który jest jednakowo odległy, powiedzmy o , od wszystkich wierzchołków. Podobnie, środek kuli wpisanej jest jednakowo odległy, powiedzmy o
, od wszystkich ścian. W przypadku czworościanu foremnego punkty te pokrywają się (jest to też punkt przecięcia się wysokości). To co mamy obliczyć, to iloraz
.
Korzystamy z podobieństwa trójkątów prostokątnych i

Stąd
Odpowiedź: