Zadanie nr 1471381
Wierzchołki i
kwadratu
leżą na paraboli
, przy czym odcinek
jest równoległy do osi
. Wykaż, że jeżeli odległość punktu
od osi
jest liczbą całkowitą to pole kwadratu
również jest liczbą całkowitą.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Sposób I
Powiedzmy, że wierzchołki i
mają współrzędne
i
. Zatem punkty
i
są punktami wspólnymi danej paraboli i prostej
. To oznacza, że liczby
i
są pierwiastkami równania

Obliczenie i
nie jest zbyt przyjemne, ale my nie potrzebujemy tych liczb – potrzebne nam jest tylko pole kwadratu, czyli

Teraz wystarczy skorzystać ze wzorów Viète’a.

Teraz widać, że jeżeli jest liczbą całkowitą, to całkowite jest też pole kwadratu
.
Sposób II
Zauważmy, że pierwsza współrzędna danej paraboli jest równa

więc prosta jest osią symetrii paraboli będącej jej wykresem. W takim razie punkty
i
mają współrzędne postaci:
i
. Ponadto

Z założenia wiemy, że jest liczbą całkowitą, więc całkowita jest też liczba
oraz
