Zadanie nr 1471381

Wierzchołki i kwadratu ABCD leżą na paraboli 2 y = x − 6x + 19 , przy czym odcinek jest równoległy do osi . Wykaż, że jeżeli odległość punktu od osi jest liczbą całkowitą to pole kwadratu ABCD również jest liczbą całkowitą.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Sposób I

Powiedzmy, że wierzchołki i mają współrzędne A = (x1,m ) i B = (x2,m ) . Zatem punkty i są punktami wspólnymi danej paraboli i prostej y = m . To oznacza, że liczby x 1 i x 2 są pierwiastkami równania

x2 − 6x + 19 = m 2 x − 6x + 19 − m = 0.

Obliczenie i nie jest zbyt przyjemne, ale my nie potrzebujemy tych liczb – potrzebne nam jest tylko pole kwadratu, czyli

AB 2 = (x2 − x1)2 = x 2+ x 2− 2x 1x2 = (x1 + x2)2 − 4x1x 2. 1 2

Teraz wystarczy skorzystać ze wzorów Viète’a.

2 2 AB = (x1 + x2) − 4x1x 2 = 36− 4(19 − m ).

Teraz widać, że jeżeli jest liczbą całkowitą, to całkowite jest też pole kwadratu ABCD .

Sposób II

Zauważmy, że pierwsza współrzędna danej paraboli jest równa

xw = 6-= 3 , 2

więc prosta x = 3 jest osią symetrii paraboli będącej jej wykresem. W takim razie punkty i mają współrzędne postaci: A = (3− x ,yA) i B = (3+ x,yB) . Ponadto