Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1471381

Wierzchołki A i B kwadratu ABCD leżą na paraboli  2 y = x − 6x + 19 , przy czym odcinek AB jest równoległy do osi Ox . Wykaż, że jeżeli odległość punktu A od osi Ox jest liczbą całkowitą to pole kwadratu ABCD również jest liczbą całkowitą.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Sposób I

Powiedzmy, że wierzchołki A i B mają współrzędne A = (x1,m ) i B = (x2,m ) . Zatem punkty A i B są punktami wspólnymi danej paraboli i prostej y = m . To oznacza, że liczby x 1 i x 2 są pierwiastkami równania

x2 − 6x + 19 = m 2 x − 6x + 19 − m = 0.

Obliczenie x2 i x1 nie jest zbyt przyjemne, ale my nie potrzebujemy tych liczb – potrzebne nam jest tylko pole kwadratu, czyli

AB 2 = (x2 − x1)2 = x 2+ x 2− 2x 1x2 = (x1 + x2)2 − 4x1x 2. 1 2

Teraz wystarczy skorzystać ze wzorów Viète’a.

 2 2 AB = (x1 + x2) − 4x1x 2 = 36− 4(19 − m ).

Teraz widać, że jeżeli m jest liczbą całkowitą, to całkowite jest też pole kwadratu ABCD .

Sposób II

Zauważmy, że pierwsza współrzędna danej paraboli jest równa

xw = 6-= 3 , 2

więc prosta x = 3 jest osią symetrii paraboli będącej jej wykresem. W takim razie punkty A i B mają współrzędne postaci: A = (3− x ,yA) i B = (3+ x,yB) . Ponadto

yB = yA = (3 − x)2− 6(3− x)+ 19 = 9− 6x + x 2− 18 + 6x + 19 = x 2+ 10 .

Z założenia wiemy, że  2 yA = x + 10 jest liczbą całkowitą, więc całkowita jest też liczba x 2 oraz

AB 2 = (2x )2 = 4x2.
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!