Zadanie nr 1471381
Wierzchołki i
kwadratu
leżą na paraboli
, przy czym odcinek
jest równoległy do osi
. Wykaż, że jeżeli odległość punktu
od osi
jest liczbą całkowitą to pole kwadratu
również jest liczbą całkowitą.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Sposób I
Powiedzmy, że wierzchołki i
mają współrzędne
i
. Zatem punkty
i
są punktami wspólnymi danej paraboli i prostej
. To oznacza, że liczby
i
są pierwiastkami równania
![x2 − 6x + 19 = m 2 x − 6x + 19 − m = 0.](https://img.zadania.info/zad/1471381/HzadR10x.gif)
Obliczenie i
nie jest zbyt przyjemne, ale my nie potrzebujemy tych liczb – potrzebne nam jest tylko pole kwadratu, czyli
![AB 2 = (x2 − x1)2 = x 2+ x 2− 2x 1x2 = (x1 + x2)2 − 4x1x 2. 1 2](https://img.zadania.info/zad/1471381/HzadR13x.gif)
Teraz wystarczy skorzystać ze wzorów Viète’a.
![2 2 AB = (x1 + x2) − 4x1x 2 = 36− 4(19 − m ).](https://img.zadania.info/zad/1471381/HzadR14x.gif)
Teraz widać, że jeżeli jest liczbą całkowitą, to całkowite jest też pole kwadratu
.
Sposób II
Zauważmy, że pierwsza współrzędna danej paraboli jest równa
![xw = 6-= 3 , 2](https://img.zadania.info/zad/1471381/HzadR17x.gif)
więc prosta jest osią symetrii paraboli będącej jej wykresem. W takim razie punkty
i
mają współrzędne postaci:
i
. Ponadto
![yB = yA = (3 − x)2− 6(3− x)+ 19 = 9− 6x + x 2− 18 + 6x + 19 = x 2+ 10 .](https://img.zadania.info/zad/1471381/HzadR23x.gif)
Z założenia wiemy, że jest liczbą całkowitą, więc całkowita jest też liczba
oraz
![AB 2 = (2x )2 = 4x2.](https://img.zadania.info/zad/1471381/HzadR26x.gif)