Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2128749

Napisz równanie okręgu, do którego należą punkty wspólne paraboli y = x2 − 5x+ 6 i prostej x − y + 1 = 0 , a którego środek należy do prostej o równaniu 7x + 3y − 9 = 0 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpocznijmy od wyznaczenia punktów wspólnych podanych: paraboli i prostej. Podstawiamy y = x + 1 do równania paraboli.

 2 x + 1 = x − 5x + 6 0 = x2 − 6x + 5 Δ = 36− 20 = 16 6 − 4 6+ 4 x = ------= 1 ∨ x = ------= 5 . 2 2

Stąd odpowiednio y = x + 1 = 2 i y = x + 1 = 6 , czyli punkty wspólne to A = (1,2) i B = (5,6) . Teraz pora na szkicowy rysunek.


PIC


Wiemy, że środek szukanego okręgu leży na prostej 7x + 3y− 9 = 0 . Leży on też na symetralnej odcinka AB . Napiszmy równanie tej symetralnej. Można to zrobić na różne sposoby, my zrobimy to myśląc o symetralnej jak o zbiorze punktów, które są równo odległe od punktów A i B , czyli symetralna jest zbiorem punktów P = (x,y) opisanych równaniem

 2 2 AP = BP (x− 1)2 + (y− 2)2 = (x − 5)2 + (y− 6)2 2 2 2 2 x − 2x + 1 + y − 4y + 4 = x − 10x + 25+ y − 12y + 36 8y+ 8x − 56 = 0 / : 8 y = −x + 7.

Szukamy teraz punktu wspólnego tej symetralnej z podaną prostą – podstawiamy y = −x + 7 do równania tej prostej.

7x + 3(−x + 7) − 9 = 0 7x − 3x + 2 1− 9 = 0 4x = −1 2 ⇒ x = − 3.

Stąd y = −x + 7 = 10 i S = (− 3,10 ) .

Liczymy jeszcze długość promienia okręgu

 ∘ -------------------- √ -------- √ --- SA = (1 + 3)2 + (2− 10)2 = 16 + 64 = 80.

Szukany okrąg ma więc równanie

 2 2 (x + 3) + (y− 10) = 80.

 
Odpowiedź:  2 2 (x + 3) + (y − 10) = 8 0

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!