Zadanie nr 2873808
Punkty i
są wierzchołkami trójkąta prostokątnego
, o kącie prostym przy wierzchołku
. Oblicz współrzędne wierzchołka
tego trójkąta, wiedząc, że leży on na paraboli o równaniu
.
Rozwiązanie
Na początku naszkicujmy opisaną sytuację. Aby to zrobić zapiszmy podane równanie paraboli w postaci kanonicznej.
![y = x 2 − 1 2x+ 33 = (x − 6)2 − 3.](https://img.zadania.info/zad/2873808/HzadR0x.gif)
Jest to więc parabola przesunięta o 6 jednostek w prawo i o 3 jednostki w dół. Robimy szkic.
Oczywiście trudno jest wykonać dokładny rysunek, ale dokładny rysunek nie jest nam potrzebny – chcemy tylko ustalić o co chodzi.
Skoro trójkąt ma być prostokątny i
ma być przeciwprostokątną, to punkt
musi leżeć na okręgu o średnicy
. Widać więc co musimy zrobić: napiszemy równanie okręgu o średnicy
i znajdziemy jego punkty wspólne z podaną parabolą.
Środek odcinka ma współrzędne
![( √ --- √ ---) 4 + 8 10 − 21 + 10 + 21 O = ------,---------------------- = (6,10). 2 2](https://img.zadania.info/zad/2873808/HzadR9x.gif)
Aby napisać równanie okręgu potrzebujemy jeszcze promienia, czyli długości odcinka .
![√ --- AO 2 = (6 − 4)2 + (10 − (10 − 21))2 = 4 + 21 = 25.](https://img.zadania.info/zad/2873808/HzadR11x.gif)
Zatem promień ma długość 5 i okrąg o średnicy ma równanie
![(x − 6)2 + (y− 10)2 = 25.](https://img.zadania.info/zad/2873808/HzadR13x.gif)
Pozostało rozwiązać układ równań
![{ 2 2 (x − 6) + (y − 10) = 25 y = (x − 6 )2 − 3](https://img.zadania.info/zad/2873808/HzadR14x.gif)
Podstawiając z drugiego równania do pierwszego mamy
![y + 3 + (y − 10)2 = 2 5 y + 3 + y2 − 20y + 10 0 = 25 2 y − 19y + 7 8 = 0 Δ = 361 − 312 = 49 y = 19-−-7-= 6 ∨ y = 19-+-7-= 13. 2 2](https://img.zadania.info/zad/2873808/HzadR16x.gif)
Stąd odpowiednio
![2 2 (x − 6) − 3 = 6 ⇐ ⇒ (x − 6) = 9 ⇐ ⇒ (x = 9 ∨ x = 3) (x − 6)2 − 3 = 1 3 ⇐ ⇒ (x − 6)2 = 16 ⇐ ⇒ (x = 10 ∨ x = 2).](https://img.zadania.info/zad/2873808/HzadR17x.gif)
Są zatem 4 takie punkty: .
Odpowiedź: