Zadanie nr 3042704

Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli 2 y = −x + 6x . Punkt jest jej wierzchołkiem, a bok jest równoległy do osi . Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.

Rozwiązanie

Z równania paraboli

2 −x + 6x = −x (x − 6)

bez trudu odczytujemy jej punkty przecięcia z osią , są to punkty x1 = 0 i x2 = 6 .

Wyznaczmy najpierw współrzędne punktu , czyli wierzchołka paraboli. W tym celu przedstawmy jej równanie w postaci kanonicznej:

2 2 2 −x + 6x = − (x − 6x + 9)+ 9 = − (x − 3) + 9.

Otrzymujemy stąd C = (3,9) . W połączeniu z miejscami zerowymi pozwala nam to naszkicować schematyczny rysunek.

Wyznaczymy teraz równanie prostej AC : y = ax+ b . Kąt jaki tworzy ona z osią jest równy kątowi przy wierzchołku trójkąta ABC czyli wynosi 60 ∘ . Zatem a = tg 60∘ = √ 3- . Aby wyznaczyć korzystamy z faktu, że zawiera ona punkt C = (3,9) :

√ -- √ -- 9 = 3 3+ b ⇒ b = − 3 3 + 9.

Możemy teraz wyznaczyć współrzędne punktu – jest to punkt przecięcia się paraboli i wyznaczonej prostej:

{ √ -- √ -- y = 3x − 3 3+ 9 y = −x 2 + 6x .

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i otrzymujemy:

2 √ -- √ -- x + x ( 3− 6)+ 9 − 3 3 = 0.

Równanie to ma dwa rozwiązania x1 = 3 i √ -- x2 = 3 − 3 . Pierwsze z rozwiązań prowadzi do punktu , a drugie daje nam √ -- A = (3 − 3 ,6) .

Ponieważ punkt jest symetryczny do punktu względem prostej x = 3 , to punkty te mają taką samą drugą współrzędną, a ich pierwsze współrzędne różnią się o