Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3042704

Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli  2 y = −x + 6x . Punkt C jest jej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy do osi Ox . Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Z równania paraboli

 2 −x + 6x = −x (x − 6)

bez trudu odczytujemy jej punkty przecięcia z osią x , są to punkty x1 = 0 i x2 = 6 .

Wyznaczmy najpierw współrzędne punktu C , czyli wierzchołka paraboli. W tym celu przedstawmy jej równanie w postaci kanonicznej:

 2 2 2 −x + 6x = − (x − 6x + 9)+ 9 = − (x − 3) + 9.

Otrzymujemy stąd C = (3,9) . W połączeniu z miejscami zerowymi pozwala nam to naszkicować schematyczny rysunek.


PIC


Wyznaczymy teraz równanie prostej AC : y = ax+ b . Kąt jaki tworzy ona z osią x jest równy kątowi przy wierzchołku A trójkąta ABC czyli wynosi 60 ∘ . Zatem a = tg 60∘ = √ 3- . Aby wyznaczyć b korzystamy z faktu, że zawiera ona punkt C = (3,9) :

 √ -- √ -- 9 = 3 3+ b ⇒ b = − 3 3 + 9.

Możemy teraz wyznaczyć współrzędne punktu A – jest to punkt przecięcia się paraboli i wyznaczonej prostej:

{ √ -- √ -- y = 3x − 3 3+ 9 y = −x 2 + 6x .

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i otrzymujemy:

 2 √ -- √ -- x + x ( 3− 6)+ 9 − 3 3 = 0.

Równanie to ma dwa rozwiązania x1 = 3 i  √ -- x2 = 3 − 3 . Pierwsze z rozwiązań prowadzi do punktu C , a drugie daje nam  √ -- A = (3 − 3 ,6) .

Ponieważ punkt B jest symetryczny do punktu A względem prostej x = 3 , to punkty te mają taką samą drugą współrzędną, a ich pierwsze współrzędne różnią się o

 √ -- √ -- 2(3 − (3 − 3)) = 2 3

Otrzymujemy stąd  √ -- B = (3 + 3,6) .  
Odpowiedź:  √ -- A = (3 − 3,6) ,  √ -- B = (3 + 3,6) , C = (3,9)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!