Zadanie nr 3042704
Wierzchołki trójkąta równobocznego są punktami paraboli
. Punkt
jest jej wierzchołkiem, a bok
jest równoległy do osi
. Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.
Rozwiązanie
Z równania paraboli
![2 −x + 6x = −x (x − 6)](https://img.zadania.info/zad/3042704/HzadR0x.gif)
bez trudu odczytujemy jej punkty przecięcia z osią , są to punkty
i
.
Wyznaczmy najpierw współrzędne punktu , czyli wierzchołka paraboli. W tym celu przedstawmy jej równanie w postaci kanonicznej:
![2 2 2 −x + 6x = − (x − 6x + 9)+ 9 = − (x − 3) + 9.](https://img.zadania.info/zad/3042704/HzadR5x.gif)
Otrzymujemy stąd . W połączeniu z miejscami zerowymi pozwala nam to naszkicować schematyczny rysunek.
Wyznaczymy teraz równanie prostej . Kąt jaki tworzy ona z osią
jest równy kątowi przy wierzchołku
trójkąta
czyli wynosi
. Zatem
. Aby wyznaczyć
korzystamy z faktu, że zawiera ona punkt
:
![√ -- √ -- 9 = 3 3+ b ⇒ b = − 3 3 + 9.](https://img.zadania.info/zad/3042704/HzadR16x.gif)
Możemy teraz wyznaczyć współrzędne punktu – jest to punkt przecięcia się paraboli i wyznaczonej prostej:
![{ √ -- √ -- y = 3x − 3 3+ 9 y = −x 2 + 6x .](https://img.zadania.info/zad/3042704/HzadR18x.gif)
Odejmujemy od pierwszego równania drugie i otrzymujemy:
![2 √ -- √ -- x + x ( 3− 6)+ 9 − 3 3 = 0.](https://img.zadania.info/zad/3042704/HzadR19x.gif)
Równanie to ma dwa rozwiązania i
. Pierwsze z rozwiązań prowadzi do punktu
, a drugie daje nam
.
Ponieważ punkt jest symetryczny do punktu
względem prostej
, to punkty te mają taką samą drugą współrzędną, a ich pierwsze współrzędne różnią się o
![√ -- √ -- 2(3 − (3 − 3)) = 2 3](https://img.zadania.info/zad/3042704/HzadR27x.gif)
Otrzymujemy stąd .
Odpowiedź: ,
,