/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Parabola

Zadanie nr 3113623

Prosta k o równaniu x + y + 8 = 0 przecina parabolę o równaniu y = − 14x2 − 52x − 54 w punktach A oraz B . Pierwsza współrzędna punktu A jest liczbą ujemną; pierwsza współrzędna punktu B jest liczbą dodatnią. Prosta l jest równoległa do prostej k i styczna do danej paraboli w punkcie C . Oblicz odległość punktu C od prostej k oraz pole trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Rozpocznijmy od wyznaczenia współrzędnych punktów A i B – podstawiamy y = −x − 8 do równania paraboli.

−x − 8 = − 1x2 − 5-x− 5- / ⋅ (− 2 ) 4 2 4 1 2 2 7 0 = -x + 3x − --- = 0 2 2 Δ = 9 + 27 = 36 x = − 3 − 6 = −9 lub x = − 3+ 6 = 3.

Wtedy y = −x − 8 = 1 i y = −x − 8 = − 11 odpowiednio. Zatem A = (− 9,1) , B = (3,− 11 ) i

∘ -------2-------------2 √ ---------- √ -- AB = (3 + 9) + (− 11 − 1) = 1 44+ 144 = 12 2.

Zajmijmy się teraz styczną równoległą do prostej AB . Musi ona mieć współczynnik kierunkowy − 1 (taki sam jak prosta AB ). Aby sprawdzić w jakim punkcie styczna do danej paraboli ma taki współczynnik kierunkowy liczymy pochodną funkcji kwadratowej, która ją definiuje.

1 5 y′ = − -x − --. 2 2

Sprawdzamy teraz kiedy pochodna jest równa − 1 .

1 5 1 3 − 1 = − -x − -- ⇐ ⇒ -x = − -- ⇐ ⇒ x = − 3. 2 2 2 2

Wtedy

1 2 5 5 9 15 5 y = − 4x − 2x − 4-= − 4-+ -2-− 4-= 4

i C = (− 3,4) . Obliczamy teraz odległość tego punktu od prostej AB (czyli wysokość trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka C ).

|− 3 + 4 + 8| 9 h = ---√----------= √--. 1 + 1 2

Obliczamy pole trójkąta ABC .

1 1 √ -- 9 PABC = --⋅AB ⋅h = -⋅ 12 2⋅ √---= 5 4. 2 2 2

 
Odpowiedź: √ - d(C ,k) = 9-22 , PABC = 54

Wersja PDF