Zadanie nr 3113623

Prosta o równaniu x + y + 8 = 0 przecina parabolę o równaniu y = − 14x2 − 52x − 54 w punktach oraz . Pierwsza współrzędna punktu jest liczbą ujemną; pierwsza współrzędna punktu jest liczbą dodatnią. Prosta jest równoległa do prostej i styczna do danej paraboli w punkcie . Oblicz odległość punktu od prostej oraz pole trójkąta ABC .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Rozpocznijmy od wyznaczenia współrzędnych punktów i – podstawiamy y = −x − 8 do równania paraboli.

−x − 8 = − 1x2 − 5-x− 5- / ⋅ (− 2 ) 4 2 4 1 2 2 7 0 = -x + 3x − --- = 0 2 2 Δ = 9 + 27 = 36 x = − 3 − 6 = −9 lub x = − 3+ 6 = 3.

Wtedy y = −x − 8 = 1 i y = −x − 8 = − 11 odpowiednio. Zatem A = (− 9,1) , B = (3,− 11 ) i

∘ -------2-------------2 √ ---------- √ -- AB = (3 + 9) + (− 11 − 1) = 1 44+ 144 = 12 2.

Zajmijmy się teraz styczną równoległą do prostej . Musi ona mieć współczynnik kierunkowy − 1 (taki sam jak prosta ). Aby sprawdzić w jakim punkcie styczna do danej paraboli ma taki współczynnik kierunkowy liczymy pochodną funkcji kwadratowej, która ją deﬁniuje.