Wszystkie wierzchołki trapezu ABCD (AB CD i |AB|>|CD|) leżą na... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Parabola, 4168511

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Geometria analityczna

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Parabola

Zadanie nr 4168511

Wszystkie wierzchołki trapezu $ABCD$ ( $AB ∥ CD$ i $|AB | > |CD |$ ) leżą na paraboli o równaniu $y = 3− 13x2$ . Wierzchołki $A$ i $B$ są punktami przecięcia tej paraboli z osią $Ox$ . Oblicz współrzędne wierzchołka trapezu o obu współrzędnych dodatnich, dla którego pole trapezu jest równe $25 3$ .

Rozwiązanie

Dana parabola

1 1 1 f (x) = 3 − --x2 = − -(x 2 − 9 ) = −-(x − 3)(x + 3 ) 3 3 3

przecina oś $Ox$ w punktach $A = (− 3,0)$ i $B = (3,0)$ , a jej wierzchołek jest w punkcie

(0,f (0)) = (0,3).

Szkicujemy opisaną sytuację.

Jeżeli oznaczymy $( ) C = (x,f(x)) = x,3 − 13x 2$ , to

AB = 3+ 3 = 6 CD = 2x h = f(x) = 3 − 1-x2 3

i pole trapezu jest równe

AB + CD 6 + 2x ( 1 ) 1 P (x) = ---------- ⋅h = -------⋅ 3 − --x2 = --(3+ x )(9− x2) 2 2 3 3 1- 3 2 = 3 (−x − 3x + 9x + 27).

Dziedziną tej funkcji jest przedział $(0 ,3)$ . Pozostało teraz rozwiązać równanie

1(−x 3 − 3x 2 + 9x + 27) = 25 / ⋅(− 3) 3 3 x3 + 3x2 − 9x − 2 = 0 .

Szukamy teraz pierwiastków całkowitych tego równania – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego. Jednym z pierwiastków jest $x = 2$ , więc dzielimy lewą stronę równania przez $x − 2$ . My zrobimy to grupując wyrazy.