Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach , i .

Mamy zatem

To jednak nie koniec, bo nie dla każdej wartości parametru punkty , i są wierzchołkami trójkąta. Tak jest tylko, gdy (czyli gdy punkt nie leży na prostej ). Sprawdźmy kiedy tak nie jest.

Tym razem skorzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej :

Wyznaczmy najpierw równanie prostej .

Wiemy, że przechodzi ona przez punkt więc ma równanie postaci . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

Prosta ma więc równanie

W takim razie wysokość trójkąta opuszczona na bok jest równa

Pole trójkąta jest więc równe

Dziedzinę otrzymanej funkcji wyznaczamy tak samo jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: dla

Jeżeli jest kątem trójkąta leżącym naprzeciw boku długości , to na mocy twierdzenia cosinusów

To oznacza, że

W takim razie trójkąt jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy suma kwadratów dwóch krótszych boków jest większa od kwadratu najdłuższego boku. W naszej sytuacji mamy

Niestety nie wiemy, który z tych odcinków jest najdłuższy, więc musimy rozwiązać trzy nierówności (wszystkie trzy muszą być jednocześnie spełnione).

Kolejna nierówność to

Część wspólna obu otrzymanych nierówności to

To jednak nie koniec, bo musimy się jeszcze zająć ostatnią z nierówności

Sytuacja nie wygląda na specjalnie prostą, ale jeżeli zapiszemy lewą stronę w postaci

to widać, że wyrażenie to na pewno jest dodatnie dla . Z drugiej strony wiemy już, że

więc trzecia z nierówności jest zawsze spełniona.

Tym razem spróbujemy na popatrzeć na całą sytuację bardziej geometrycznie.

Po pierwsze zastanówmy się, czy jest możliwe, żeby kąt rozwarty trójkąta był kątem przy wierzchołku ? Aby tak było punkt musiałby się znajdować wewnątrz koła o średnicy (dla punktów tego koła mamy ). Jest to koło o środku

i promieniu

Koło to jest więc opisane nierównością

Sprawdźmy teraz, czy wewnątrz tego koła znajduje się jakikolwiek punkt danej paraboli

Zauważmy teraz, że jeżeli , to

a jeżeli , to

bo wyróżnik trójmianu w ostatnim nawiasie jest ujemny.

Udowodniliśmy więc, że koło o średnicy i dana parabola nie mają punktów wspólnych, czyli kąt rozwarty trójkąta nie może się znajdować przy wierzchołku . W takim razie musimy tylko zagwarantować, aby kąty przy wierzchołkach i były ostre, a tak będzie, gdy punkt znajdzie się w pasie pomiędzy dwoma prostymi prostopadłymi do odcinka i przechodzącymi przez punkty i . Łatwo zauważyć, ze punkty i leżą na prostej , więc proste prostopadłe do prostej mają równania postaci . Jeżeli podstawiamy współrzędne punktów i , to okaże się, że interesują nas proste i . Wyznaczamy teraz punkty wspólne tych prostych z daną parabolą. Najpierw pierwsza prosta

Otrzymujemy więc punkty i . Teraz druga z prostych

Drugich współrzędnych punktów i możemy nie obliczać, bo nie będą nam potrzebne. Jak ustaliliśmy wierzchołek musi na paraboli znajdować się pomiędzy punktami i lub pomiędzy punktami i . Mamy w takim razie

 
Odpowiedź: