Zadanie nr 5305713
Dana jest parabola o równaniu i punkt
. Wykaż, że każdy punkt leżący na paraboli jest równo oddalony od punktu
i prostej
o równaniu
.
Rozwiązanie
Po pierwsze naszkicujmy sobie tę parabolę.
Jeżeli punkt jest punktem podanej paraboli, to jest postaci
. Jego odległość od prostej
jest równa
. Obliczamy teraz długość odcinka
![∘ -----------(---------)-- ∘ --------------------- 2 1- 2 2 2 -1- 4 1- 2 (x − 0) + 4 x − 1 = x + 16 x − 2x + 1 = ∘ ---------------- ∘ ------------- 1 1 (1 ) 2 1 = --x4 + --x2 + 1 = --x2 + 1 = -x 2 + 1 . 16 2 4 4](https://img.zadania.info/zad/5305713/HzadR6x.gif)
Gdyby ktoś nie zauważył, że wyrażenie pod pierwiastkiem to pełen kwadrat to można po prostu porównać ten pierwiastek z tym co mam wyjść, czyli z i przekształcać aż będzie 0=0.
Dla ciekawskich, każda parabola to zbiór punktów, które są równoodległe od pewnej prostej (zwanej kierownicą) i punktu (zwanego ogniskiem). W tym przykładzie kierownicą jest prosta , a ogniskiem podany punkt
– dlatego zresztą się nazywa
, od ’focal point’.