/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Parabola

Zadanie nr 5848359

Prosta k o równaniu x + y − 9 = 0 przecina parabolę o równaniu y = 14x2 − 32x + 14 w punktach A oraz B . Pierwsza współrzędna punktu A jest liczbą dodatnią; pierwsza współrzędna punktu B jest liczbą ujemną. Prosta l jest równoległa do prostej k i styczna do danej paraboli w punkcie C . Oblicz odległość punktu C od prostej k oraz pole trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

ZINFO-FIGURE

Rozpocznijmy od wyznaczenia współrzędnych punktów A i B – podstawiamy y = −x + 9 do równania paraboli.

1-2 3- 1- −x + 9 = 4x − 2 x+ 4 / ⋅ 2 1 35 0 = -x2 − x − --- 2 2 Δ = 1 + 35 = 36 x = 1 − 6 = −5 lub x = 1 + 6 = 7.

Wtedy y = −x + 9 = 14 i y = −x + 9 = 2 odpowiednio. Zatem A = (7,2) , B = (− 5,1 4) i

∘ ---------------------- √ ---------- √ -- AB = (− 5 − 7)2 + (14 − 2)2 = 1 44+ 144 = 12 2.

Zajmijmy się teraz styczną równoległą do prostej AB . Musi ona mieć współczynnik kierunkowy − 1 (taki sam jak prosta AB ). Aby sprawdzić w jakim punkcie styczna do danej paraboli ma taki współczynnik kierunkowy liczymy pochodną funkcji kwadratowej, która ją definiuje.

y′ = 1x − 3-. 2 2

Sprawdzamy teraz kiedy pochodna jest równa − 1 .

− 1 = 1-x− 3- ⇐ ⇒ 1x = 1- ⇐ ⇒ x = 1 . 2 2 2 2

Wtedy

y = 1x2 − 3-x+ 1-= 1− 3-+ 1-= − 1 4 2 4 4 2 4

i C = (1,− 1) . Obliczamy teraz odległość tego punktu od prostej AB (czyli wysokość trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka C ).

h = |1√−-1−--9| = √9--. 1 + 1 2

Obliczamy pole trójkąta ABC .

1- 1- √ -- -9-- PABC = 2 ⋅AB ⋅h = 2 ⋅ 12 2⋅ √ --= 5 4. 2

 
Odpowiedź: 9√-2 d(C ,k) = 2 , PABC = 54

Wersja PDF