Zadanie nr 6365221
Jeden z końców odcinka leży na paraboli , a drugi na prostej o równaniu
. Wykaż, że długość tego odcinka jest nie mniejsza od
. Sporządź odpowiedni rysunek.
Rozwiązanie
Możemy na początku sobie naszkicować o co chodzi.
W pierwszej chwili można by pomyśleć tak: bierzemy punkt z paraboli i punkt
z prostej i musimy pokazać, że są odległe o co najmniej
. Tak jednak będzie trudno to rozwiązać, bo mamy dwa parametry.
Żeby mieć jeden parametr korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej
:
![|Ax-0√-+-By-0 +-C|. A 2 + B 2](https://img.zadania.info/zad/6365221/HzadR6x.gif)
W naszej sytuacji bierzemy punkt na paraboli i daną prostą. Liczymy
![|2x − x2 − 6| |x2 − 2x + 6| x2 − 2x+ 6 d(x) = --√----------= -----√------- = ----√------- 4+ 1 5 5](https://img.zadania.info/zad/6365221/HzadR8x.gif)
(opuściliśmy wartość bezwzględną, bo ).
Teraz mamy różne możliwości.
Możemy zauważyć, że
![x2 − 2x + 6 = x2 − 2x+ 1+ 5 = (x − 1)2 + 5 ≥ 5.](https://img.zadania.info/zad/6365221/HzadR10x.gif)
Możemy też wyliczyć najmniejszą wartość funkcji ze wzorów na wierzchołek paraboli.
![Δ 20 yw = − ---= ---= 5. 4a 4](https://img.zadania.info/zad/6365221/HzadR12x.gif)
Możemy wreszcie pokazać, że zachodzi nierówność
![x2 − 2x + 6 √ -- ----√-------≥ 5 5 x2 − 2x + 6 ≥ 5 2 x − 2x + 1 ≥ 0 (x − 1)2 ≥ 0.](https://img.zadania.info/zad/6365221/HzadR13x.gif)
Niezależnie od wybranego sposobu dostajemy, że odległość punktu od podanej prostej jest równa co najmniej
.