Zadanie nr 6766874
Punkty przecięcia paraboli z prostą
są końcami przekątnej rombu, którego pole wynosi 30. Oblicz współrzędne wierzchołków tego rombu oraz długość jego boku.
Rozwiązanie
Na początku znajdźmy punkty wspólne podanej paraboli i prostej (porównujemy -ki).

Zatem punkty przecięcia to i
. Dalszy plan działania jest następujący, mając końce przekątnej możemy wyliczyć jej długość. Potem, z podanego pola wyliczymy długość drugiej przekątnej. Mając długości przekątnych można wyliczyć długość boku i na koniec znajdziemy współrzędne pozostałych dwóch wierzchołków.
Liczymy

Korzystając ze wzoru na pole z długościami przekątnych , mamy

Ponieważ przekątne rombu dzielą się na połowy i są prostopadłe, z trójkąta prostokątnego możemy wyliczyć długość boku rombu.

Szukamy teraz punktów wspólnych okręgów o środkach w punktach i
i promieniu
– innymi słowy szukamy
i
.

Odejmując równania stronami (żeby skrócić kwadraty) mamy

Wstawiamy to do drugiego równania

Stąd i
.
Odpowiedź: