Zadanie nr 6844943
Dane są parabola o równaniu oraz punkty
i
(zobacz rysunek).
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty , których wierzchołek
leży na tej paraboli. Niech
oznacza pierwszą współrzędną punktu
.
- Wyznacz pole
trójkąta
jako funkcję zmiennej
.
- Wyznacz wszystkie wartości
, dla których trójkąt
jest ostrokątny.
Rozwiązanie
- Niech
będzie dowolnym punktem danej paraboli. Pole trójkąta
obliczymy na dwa sposoby.
Sposób I
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach
,
i
.
Mamy zatem
To jednak nie koniec, bo nie dla każdej wartości parametru
punkty
,
i
są wierzchołkami trójkąta. Tak jest tylko, gdy
(czyli gdy punkt
nie leży na prostej
). Sprawdźmy kiedy tak nie jest.
Sposób II
Tym razem skorzystamy ze wzoru na odległość punktu
od prostej
:
Wyznaczmy najpierw równanie prostej
.
Wiemy, że przechodzi ona przez punkt
więc ma równanie postaci
. Współczynnik
wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu
.
Prosta
ma więc równanie
W takim razie wysokość
trójkąta
opuszczona na bok
jest równa
Pole trójkąta
jest więc równe
Dziedzinę otrzymanej funkcji wyznaczamy tak samo jak w poprzednim sposobie.
Odpowiedź:dla
-
Sposób I
Jeżeli
jest kątem trójkąta leżącym naprzeciw boku długości
, to na mocy twierdzenia cosinusów
To oznacza, że
W takim razie trójkąt jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy suma kwadratów dwóch krótszych boków jest większa od kwadratu najdłuższego boku. W naszej sytuacji mamy
Niestety nie wiemy, który z tych odcinków jest najdłuższy, więc musimy rozwiązać trzy nierówności (wszystkie trzy muszą być jednocześnie spełnione).
Kolejna nierówność to
Część wspólna obu otrzymanych nierówności to
To jednak nie koniec, bo musimy się jeszcze zająć ostatnią z nierówności
Sytuacja nie wygląda na specjalnie prostą, ale jeżeli zapiszemy lewą stronę w postaci
to widać, że wyrażenie to na pewno jest dodatnie dla
. Z drugiej strony wiemy już, że
więc trzecia z nierówności jest zawsze spełniona.
Sposób II
Tym razem spróbujemy na popatrzeć na całą sytuację bardziej geometrycznie.
Po pierwsze zastanówmy się, czy jest możliwe, żeby kąt rozwarty trójkąta
był kątem przy wierzchołku
? Aby tak było punkt
musiałby się znajdować wewnątrz koła o średnicy
(dla punktów
tego koła mamy
). Jest to koło o środku
i promieniu
Koło to jest więc opisane nierównością
Sprawdźmy teraz, czy wewnątrz tego koła znajduje się jakikolwiek punkt
danej paraboli
Zauważmy teraz, że jeżeli
, to
a jeżeli
, to
bo wyróżnik trójmianu w ostatnim nawiasie jest ujemny.
Udowodniliśmy więc, że koło o średnicy
i dana parabola nie mają punktów wspólnych, czyli kąt rozwarty trójkąta
nie może się znajdować przy wierzchołku
. W takim razie musimy tylko zagwarantować, aby kąty przy wierzchołkach
i
były ostre, a tak będzie, gdy punkt
znajdzie się w pasie pomiędzy dwoma prostymi prostopadłymi do odcinka
i przechodzącymi przez punkty
i
. Łatwo zauważyć, ze punkty
i
leżą na prostej
, więc proste prostopadłe do prostej
mają równania postaci
. Jeżeli podstawiamy współrzędne punktów
i
, to okaże się, że interesują nas proste
i
. Wyznaczamy teraz punkty wspólne tych prostych z daną parabolą. Najpierw druga prosta
Otrzymujemy więc punkty
i
. Teraz pierwsza z prostych
Drugich współrzędnych punktów
i
możemy nie obliczać, bo nie będą nam potrzebne. Jak ustaliliśmy wierzchołek
musi na paraboli znajdować się pomiędzy punktami
i
lub pomiędzy punktami
i
. Mamy w takim razie
Odpowiedź: