/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Parabola

Zadanie nr 7225246

Każdy z wierzchołków trójkąta prostokątnego ABC leży na na wykresie funkcji y = x2 − 5x + 6 . Bok BC tego trójkąta jest zawarty w prostej y = 3x− 6 , a wierzchołek C kąta prostego ma obie współrzędne dodatnie. Oblicz pole trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wykres danej funkcji kwadratowej

2 y = x − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3 )

to parabola o ramionach skierowanych w górę i miejscach zerowych x = 2 i x = 3 . Możemy teraz naszkicować opisaną sytuację.

PIC

Wiemy, że punkty B i C leżą zarówno na tej paraboli jak i na prostej y = 3x− 6 , więc ich współrzędne spełniają układ równań

{ y = x2 − 5x + 6 y = 3x − 6

Podstawiamy y = 3x − 6 z drugiego równania do pierwszego i mamy

2 3x − 6 = x − 5x + 6 0 = x 2 − 8x + 12 Δ = 6 4− 48 = 16 8− 4 8+ 4 x = ------= 2 lub x = ------= 6. 2 2

Stąd odpowiednio y = 3x − 6 = 0 i y = 3x − 6 = 12 . Ponieważ z założenia punkt C ma obie współrzędne dodatnie, mamy stąd C = (6,12) i B = (2,0) .

Musimy jeszcze wyznaczyć współrzędne punktu A – jest to punkt wspólny prostej AC i danej paraboli. Prosta AC jest prostopadła do BC (bo punkt C jest wierzchołkiem kąta prostego), więc ma równanie postaci 1 y = − 3x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu C .

12 = −2 + b ⇒ b = 14.

Zatem prosta AC ma równanie 1 y = − 3x + 1 4 . Szukamy teraz jej punktów wspólnych z daną parabolą – podstawiamy y = − 1x + 14 3 w równaniu paraboli.

1 2 − 3x + 14 = x − 5x + 6 / ⋅3 2 0 = 3x − 14x − 24 Δ = 142 + 4⋅ 3⋅24 = 196 + 288 = 484 = 222 x = 14-−-22-= − 8-= − 4- lub x = 14+--22-= 6. 6 6 3 6

Drugie rozwiązanie dałoby nam punkt C , więc x = − 4 3 i

( ) 1 1 4 4 130 y = − 3-x + 14 = − 3-⋅ − 3- + 14 = 9-+ 14 = -9-.

Mamy zatem ( ) 4 130- A = − 3, 9 i

∘ -------------------- √ --------- √ ---- √ --- BC = (6 − 2)2 + (0− 12)2 = 16 + 144 = 160 = 4 10 ∘ (------)-----(---------)--- 4- 2 130- 2 AC = 6+ 3 + 1 2− 9 = ∘ ----------- ∘ ------ √ --- 222- 222- 9-+-1- 22--10- = 9 + 81 = 22 81 = 9 .

Pole trójkąta ABC jest więc równe

--- √ --- P = 1BC ⋅AC = 1-⋅4√ 10 ⋅ 22--10 = 2⋅10-⋅22-= 440-. ABC 2 2 9 9 9

 
Odpowiedź: 440 9

Wersja PDF