Zadanie nr 8122253
Rozważmy cięciwy paraboli
przechodzące przez punkt
, przy czym przez cięciwę
rozumiemy prostą przecinającą tę parabolę w dwóch punktach
i
. Wyznacz współrzędne punktów
i
, dla których suma współrzędnych środka odcinka
cięciwy
jest równa
.
Rozwiązanie
Parabola ma wierzchołek w punkcie
![( −b ) (xw ,yw) = ----,f(xw) = (− 2,− 1). 2a](https://img.zadania.info/zad/8122253/HzadR1x.gif)
Można też wyliczyć miejsca zerowe paraboli, są to punkty i
. Teraz możemy naszkicować o co chodzi.
Proste przechodzące przez punkt możemy zapisać w postaci
, gdzie
(tak naprawdę pomijamy pionową prostą przechodzącą przez
, która nie jest tej postaci, jednak ona przecina parabolę tylko w jednym punkcie). Punkty wspólne tej prostej i danej paraboli wyznaczamy z równania
![2 a(x − 1) = x + 4x + 3 0 = x 2 + (4 − a)x + 3 + a.](https://img.zadania.info/zad/8122253/HzadR9x.gif)
Tak naprawdę nie interesują nas rozwiązania i
tego równania (czyli punkty
i
), ale wyrażenie
, które jest równe pierwszej współrzędnej środka
odcinka
. Na mocy wzorów Viète’a mamy
![x + x a− 4 -1----2-= -----. 2 2](https://img.zadania.info/zad/8122253/HzadR17x.gif)
Wyliczmy teraz drugą współrzędną punktu
![a − 6 a2 − 6a y = a(x− 1) = a ⋅------= -------. 2 2](https://img.zadania.info/zad/8122253/HzadR19x.gif)
Zatem .
Korzystamy teraz z podanej informacji o sumie współrzędnych punktu .
![a− 4 a2 − 6a ------+ --------= − 2 / ⋅2 2 2 a2 − 5a− 4+ 4 = 0 a(a− 5) = 0 a = 0 ∨ a = 5 .](https://img.zadania.info/zad/8122253/HzadR22x.gif)
Pozostało zobaczyć jakie są współrzędne punktów i
dla tych wartości
. Mamy odpowiednio równania
![x2 + 4x + 3 = 0 2 x − x + 8 = 0.](https://img.zadania.info/zad/8122253/HzadR26x.gif)
Drugie równanie nie ma rozwiązań, obliczmy pierwiastki pierwszego.
![Δ = 1 6− 1 2 = 4 x = − 1 ∨ x = − 3.](https://img.zadania.info/zad/8122253/HzadR27x.gif)
Zatem szukane końce cięciwy to i
.
Odpowiedź: i