Zadanie nr 8122253
Rozważmy cięciwy paraboli
przechodzące przez punkt
, przy czym przez cięciwę
rozumiemy prostą przecinającą tę parabolę w dwóch punktach
i
. Wyznacz współrzędne punktów
i
, dla których suma współrzędnych środka odcinka
cięciwy
jest równa
.
Rozwiązanie
Parabola ma wierzchołek w punkcie

Można też wyliczyć miejsca zerowe paraboli, są to punkty i
. Teraz możemy naszkicować o co chodzi.
Proste przechodzące przez punkt możemy zapisać w postaci
, gdzie
(tak naprawdę pomijamy pionową prostą przechodzącą przez
, która nie jest tej postaci, jednak ona przecina parabolę tylko w jednym punkcie). Punkty wspólne tej prostej i danej paraboli wyznaczamy z równania

Tak naprawdę nie interesują nas rozwiązania i
tego równania (czyli punkty
i
), ale wyrażenie
, które jest równe pierwszej współrzędnej środka
odcinka
. Na mocy wzorów Viète’a mamy

Wyliczmy teraz drugą współrzędną punktu

Zatem .
Korzystamy teraz z podanej informacji o sumie współrzędnych punktu .

Pozostało zobaczyć jakie są współrzędne punktów i
dla tych wartości
. Mamy odpowiednio równania

Drugie równanie nie ma rozwiązań, obliczmy pierwiastki pierwszego.

Zatem szukane końce cięciwy to i
.
Odpowiedź: i