Rozważmy cięciwy AB paraboli y=x^2+4x+3 przechodzące przez punkt... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Parabola, 8122253

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Geometria analityczna

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Parabola

Zadanie nr 8122253

Rozważmy cięciwy $AB$ paraboli $2 y = x + 4x + 3$ przechodzące przez punkt $(1,0)$ , przy czym przez cięciwę $AB$ rozumiemy prostą przecinającą tę parabolę w dwóch punktach $A$ i $B$ . Wyznacz współrzędne punktów $A$ i $B$ , dla których suma współrzędnych środka odcinka $AB$ cięciwy $AB$ jest równa $− 2$ .

Rozwiązanie

Parabola $2 y = x + 4x + 3$ ma wierzchołek w punkcie

( −b ) (xw ,yw) = ----,f(xw) = (− 2,− 1). 2a

Można też wyliczyć miejsca zerowe paraboli, są to punkty $(− 3,0)$ i $(− 1,0)$ . Teraz możemy naszkicować o co chodzi.

Proste przechodzące przez punkt $(1,0)$ możemy zapisać w postaci $y = a(x− 1)$ , gdzie $a ∈ R$ (tak naprawdę pomijamy pionową prostą przechodzącą przez $(1,0)$ , która nie jest tej postaci, jednak ona przecina parabolę tylko w jednym punkcie). Punkty wspólne tej prostej i danej paraboli wyznaczamy z równania

2 a(x − 1) = x + 4x + 3 0 = x 2 + (4 − a)x + 3 + a.

Tak naprawdę nie interesują nas rozwiązania $x 1$ i $x 2$ tego równania (czyli punkty $A$ i $B$ ), ale wyrażenie $x1+x2 2$ , które jest równe pierwszej współrzędnej środka $S$ odcinka $AB$ . Na mocy wzorów Viète’a mamy