/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Parabola

Zadanie nr 9814835

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) prosta l o równaniu x − y − 2 = 0 przecina parabolę o równaniu y = 4x2 − 7x + 1 w punktach A oraz B . Odcinek AB jest średnicą okręgu O . Punkt C leży na okręgu O nad prostą l , a kąt BAC jest ostry i ma miarę α taką, że tg α = 1 3 (zobacz rysunek).

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wyznaczmy najpierw współrzędne punktów A i B . Podstawiamy y = x − 2 do równania paraboli.

2 x − 2 = 4x − 7x+ 1 0 = 4x 2 − 8x+ 3 Δ = 6 4− 4 8 = 16 8− 4 1 8 + 4 3 x = ------= -- lub x = ------= -. 8 2 8 2

Mamy wtedy y = x − 2 = − 3 2 i y = x − 2 = − 1 2 odpowiednio. Zatem

( ) ( ) 1 3 3 1 A = 2-,− 2- i B = 2,− 2- .

Środkiem okręgu O jest więc punkt

( 1 3 3 1) S = A-+--B-= 2 +-2, −-2 −-2 = (1,− 1). 2 2 2

Obliczmy jeszcze promień okręgu

∘ ------------------------- ( ) 2 ( )2 ∘ ------ r = OB = 3− 1 + − 1-+ 1 = 1-+ 1-= √1--. 2 2 4 4 2

Okrąg O jest więc opisany równaniem

2 2 1- (x − 1) + (y+ 1) = 2 3 x2 − 2x + y2 + 2y + --= 0 2

Sposób I

Popatrzmy teraz na dany rysunek, żeby postanowić co dalej.

PIC

Spróbujemy napisać równanie prostej AC . Przechodzi ona oczywiście przez punkt A , ale to za mało, żeby napisać jej równanie – musimy jeszcze znać jej współczynnik kierunkowy, czyli tangens kąta β jej nachylenia do osi Ox . Jeżeli K i L są punktami wspólnymi prostych AB i AC z osią Ox , to w trójkącie AKL mamy

∡AKL = 45∘ ∘ ∡ALK = 180 − β 1 80∘ = α + 45∘ + 18 0∘ − β ⇒ β = α+ 45∘.

Skorzystamy teraz ze wzoru na tangens sumy kątów

-tg-x+--tg-y- tg (x+ y) = 1 − tg xtg y

Mamy zatem

1 + 1 4 tgβ = tg(α + 45∘) = -3-------= -3 = 2. 1− 13 ⋅ 1 23

Prosta AC ma więc równanie postaci y = 2x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu A .

3- 1- 5- − 2 = 2 ⋅2 + b ⇒ b = − 2.

Prosta AC ma więc równanie y = 2x − 5 2 . Podstawiamy teraz to wyrażenie do równania okręgu o

( ) 2 1-= (x − 1)2 + (y + 1)2 = (x − 1 )2 + 2x − 3- 2 2 1 9 --= x2 − 2x + 1 + 4x 2 − 6x+ -- 2 4 0 = 5x 2 − 8x + 11. 4

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe

Δ = 64 − 55 = 9 8-−-3- 1- 8+--3- 11- x = 10 = 2 lub x = 10 = 10.

Pierwsze rozwiązanie da nam współrzędne punktu A , więc x = 11 10 ,

y = 2x − 5-= 22-− 25-= − 3-- 2 10 10 10

i ( ) C = 1110,− 310- .

Sposób II

Popatrzmy teraz na dany rysunek, żeby postanowić co dalej.

PIC

Dany tangens α oznacza, że

1- BC-- 3 = tg α = AC ⇒ BC = 3AC .

Musimy w takim razie wyznaczyć taki punkt C = (x,y) okręgu O , dla którego

AC 2 = 9BC 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1- 2 3- 2 3- 2 1- 2 x − 2 + y + 2 = 9 x − 2 + 9 y + 2 x 2 − x + 1-+ y2 + 3y + 9-= 9x2 − 27x + 8-1+ 9y2 + 9y + 9- 4 4 4 4 0 = 8x2 − 26x + 8y 2 + 6y + 2 0 / : 8 0 = x2 − 13x + y2 + 3y + 5-. 4 4 2

Pozostało więc rozwiązać układ równań

{ x2 − 2x + y2 + 2y + 3 = 0 2 x2 − 143x + y2 + 34y + 52 = 0.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

13- 3- 3- 5- − 2x + 4 x + 2y − 4 y+ 2 − 2 = 0 / ⋅4 5x + 5y − 4 = 0 / : 5 y = −x + 4. 5

Podstawiamy teraz y = −x + 45 do równania okręgu O .

( ) 2 1- 2 2 2 9- 2 = (x − 1) + (y+ 1) = (x − 1) + −x + 5 1-= x2 − 2x + 1 + x2 − 18-x+ 81- 2 5 25 2 28- 187- 25- 0 = 2x − 5 x+ 50 / ⋅ 2 187 0 = 25x2 − 70x + ---. 4

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

2 2 Δ = 70 − 25 ⋅187 = 4900 − 467 5 = 225 = 15 7-0−--15 5-5 1-1 7-0+--15 8-5 1-7 x = 50 = 5 0 = 1 0 lub x = 50 = 5 0 = 1 0.

Mamy wtedy

y = −x + 4-= − 11-+ 4-= − 3-- i y = −x + 4-= − 17-+ 4-= − -9- 5 10 5 10 5 10 5 10

odpowiednio. Zatem ( ) C = 11,− 3- 10 10 lub ( ) C = 17,− -9 10 10 . ŁAtwo sprawdzić, że tylko pierwszy z tych punktów leży powyżej danej prostej y = x − 2 :

11 9 3 x − 2 = ---− 2 = − ---< y = − --- 10 10 10 17- 3-- 9-- x − 2 = 10 − 2 = − 10 > y = − 10.

Zatem ( ) C = 1110,− 130 .  
Odpowiedź: ( ) C = 1110,− 310-

Wersja PDF