/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Parabola

Zadanie nr 9814835

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) prosta l o równaniu x − y − 2 = 0 przecina parabolę o równaniu y = 4x2 − 7x + 1 w punktach A oraz B . Odcinek AB jest średnicą okręgu O . Punkt C leży na okręgu O nad prostą l , a kąt BAC jest ostry i ma miarę α taką, że tg α = 1 3 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz współrzędne punktu C .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wyznaczmy najpierw współrzędne punktów A i B . Podstawiamy y = x − 2 do równania paraboli.

x − 2 = 4x 2 − 7x+ 1 2 0 = 4x − 8x+ 3 Δ = 6 4− 4 8 = 16 8− 4 1 8 + 4 3 x = ------= -- lub x = ------= -. 8 2 8 2

Mamy wtedy 3 y = x − 2 = − 2 i 1 y = x − 2 = − 2 odpowiednio. Zatem

( ) ( ) A = 1-,− 3- i B = 3,− 1- . 2 2 2 2

Środkiem okręgu O jest więc punkt

( ) A-+--B- 12 +-32-−--32 −-12 S = 2 = 2 , 2 = (1,− 1).

Obliczmy jeszcze promień okręgu

∘ (-------)----(--------)-- ∘ ------ 3 2 1 2 1 1 1 r = SB = --− 1 + − --+ 1 = --+ --= √--. 2 2 4 4 2

Okrąg O jest więc opisany równaniem

(x − 1)2 + (y+ 1)2 = 1- 2 2 2 3- x − 2x + y + 2y + 2 = 0

Sposób I

Popatrzmy teraz na dany rysunek, żeby postanowić co dalej.

ZINFO-FIGURE

Spróbujemy napisać równanie prostej AC . Przechodzi ona oczywiście przez punkt A , ale to za mało, żeby napisać jej równanie – musimy jeszcze znać jej współczynnik kierunkowy, czyli tangens kąta β jej nachylenia do osi Ox . Jeżeli K i L są punktami wspólnymi prostych AB i AC z osią Ox , to w trójkącie AKL mamy

∘ ∡AKL = 45 ∡ALK = 180 ∘ − β ∘ ∘ ∘ ∘ 1 80 = α + 45 + 18 0 − β ⇒ β = α+ 45 .

Skorzystamy teraz ze wzoru na tangens sumy kątów

tg x+ tg y tg (x+ y) = ------------ 1 − tg xtg y

Mamy zatem

1 4 tgβ = tg(α + 45∘) = -3-+-1---= -3 = 2. 1− 13 ⋅ 1 23

Prosta AC ma więc równanie postaci y = 2x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu A .

3 1 5 − --= 2 ⋅--+ b ⇒ b = − -. 2 2 2

Prosta AC ma więc równanie 5 y = 2x − 2 . Podstawiamy teraz to wyrażenie do równania okręgu o

( ) 1- 2 2 2 3- 2 2 = (x − 1) + (y + 1) = (x − 1 ) + 2x − 2 1-= x2 − 2x + 1 + 4x 2 − 6x+ 9- 2 4 2 11- 0 = 5x − 8x + 4 .

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe

Δ = 64 − 55 = 9 x = 8-−-3-= 1- lub x = 8+--3-= 11. 10 2 10 10

Pierwsze rozwiązanie da nam współrzędne punktu A , więc 11 x = 10 ,

y = 2x − 5-= 22-− 25-= − 3-- 2 10 10 10

i (11 3) C = 10,− 10 .

Sposób II

Popatrzmy teraz na dany rysunek, żeby postanowić co dalej.

ZINFO-FIGURE

Dany tangens α oznacza, że

1 BC --= tg α = ---- ⇒ AC = 3BC . 3 AC

Musimy w takim razie wyznaczyć taki punkt C = (x,y) okręgu O , dla którego

2 2 ( ) ( AC) = 9B(C ) ( ) 1 2 3 2 3 2 1 2 x − -- + y + -- = 9 x − -- + 9 y + -- 2 2 2 2 2 1- 2 9- 2 8-1 2 9- x − x + 4 + y + 3y + 4 = 9x − 27x + 4 + 9y + 9y + 4 0 = 8x2 − 26x + 8y 2 + 6y + 2 0 / : 8 2 13- 2 3- 5- 0 = x − 4 x + y + 4y + 2 .

Pozostało więc rozwiązać układ równań

{ 2 2 3 x − 2x + y + 2y + 2 = 0 x2 − 13x + y2 + 3y + 5= 0. 4 4 2

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

13 3 3 5 − 2x + ---x + 2y − --y+ --− --= 0 / ⋅4 4 4 2 2 5x + 5y − 4 = 0 / : 5 4 y = −x + -. 5

Podstawiamy teraz y = −x + 4 5 do równania okręgu O .

( ) 2 1-= (x − 1)2 + (y+ 1)2 = (x − 1)2 + −x + 9- 2 5 1 2 2 18 81 --= x − 2x + 1 + x − ---x+ --- 2 5 25 0 = 2x2 − 28-x+ 187- / ⋅ 25 5 50 2 2 187- 0 = 25x − 70x + 4 .

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

2 2 Δ = 70 − 25 ⋅187 = 4900 − 467 5 = 225 = 15 7-0−--15 5-5 1-1 7-0+--15 8-5 1-7 x = 50 = 5 0 = 1 0 lub x = 50 = 5 0 = 1 0.

Mamy wtedy

4- 11- 4- 3-- 4- 17- 4- -9- y = −x + 5 = − 10 + 5 = − 10 i y = −x + 5 = − 10 + 5 = − 10

odpowiednio. Zatem ( ) 11 3- C = 10,− 10 lub ( ) 17 -9 C = 10,− 10 . Łatwo sprawdzić, że tylko pierwszy z tych punktów leży powyżej danej prostej y = x− 2 :

11 9 3 x − 2 = 10-− 2 = − 10-< y = − 10- x − 2 = 17-− 2 = − 3--> y = − 9-. 10 10 10

Zatem ( 11 -3) C = 10,− 10 .  
Odpowiedź: ( ) 11- 3- C = 10,− 10

Wersja PDF