Zadanie nr 9471812

Dla jakich wartości parametru układ równań { 2x − 4y = − 2 x + ay = 3a ma rozwiązanie będące parą liczb o różnych znakach?

Rozwiązanie

Sposób I

Nie przejmujemy się parametrem i rozwiązujemy podany układ równań. Dzielimy pierwsze równanie przez 2 i odejmujemy od niego drugie (żeby skrócić ).

x − 2y − (x + ay ) = − 1− 3a − 2y − ay = 1 + 3a / ⋅(− 1) y(2 + a) = 3a + 1 .

Jeżeli teraz a = − 2 , to powyższe równanie jest sprzeczne. W takim razie musi być a ⁄= − 2 i mamy

y = 3a+--1. 2 + a

Mamy wtedy (z pierwszego równania układu)

x = 2y− 1 = 6a-+-2-− 1 = 6a-+-2-−-2-−-a-= -5a--. 2 + a 2+ a 2+ a

Jeżeli rozwiązania mają być różnych znaków, to musi być spełniona nierówność

xy < 0 --5a-- 3a-+-1- 2 + a ⋅ 2+ a < 0 / : 15 ( ) a a + 13 --------2- < 0 (2 +( a) ) 1- a ∈ − 3,0 .

Mogliśmy też osobno sprawdzić kiedy x > 0 i y < 0 lub x < 0 i y > 0 .

Sposób II

Podany układ

{ x− 2y = − 1 x+ ay = 3a

wygodnie jest rozwiązać metodą wyznacznikową

|| || W = ||1 − 2|| = a + 2 |1 a | |− 1 − 2| Wx = ||3a a || = −a + 6a = 5a | | ||1 − 1|| Wy = |1 3a | = 3a + 1.

To oznacza, że układ jest sprzeczny dla a = − 2 , a w przeciwnym przypadku mamy

Wx 5a x = ----= ------ W a + 2 Wy-- 3a-+-1- y = W = a+ 2 .

Dalej rozwiązujemy tak jak w poprzednim sposobie.
Odpowiedź: ( 1 ) a ∈ − 3,0