Zadanie nr 2741617
Niech będzie sześcianem o krawędzi długości . Konstruujemy kolejno sześciany takie, że pole powierzchni całkowitej kolejnego sześcianu jest dwa razy większe od pola powierzchni poprzedniego sześcianu. Oblicz sumę objętości sześcianów .
Rozwiązanie
Zauważmy, że jeżeli jest długością krawędzi jednego z sześcianów, to kolejny sześcian ma krawędź długości (żeby pole powierzchni wzrosło dwukrotnie).
To oznacza, że ten kolejny sześcian ma objętość
Objętości kolejnych sześcianów tworzą więc ciąg geometryczny z pierwszym wyrazem i ilorazem . Suma 8 początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
Odpowiedź: