/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 1021234

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Przez punkt P krawędzi bocznej AD graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ABCDEF o krawędzi podstawy równej a poprowadzono dwie płaszczyzny. Jedna przechodzi przez przeciwległą krawędź dolnej podstawy i jest nachylona do tej podstawy pod kątem α , a druga przechodzi przez przeciwległą krawędź górnej podstawy i jest nachylona do tej podstawy pod kątem β (zobacz rysunek).

PIC

Udowodnij, że objętość ostrosłupa BCF EP jest równa

a3sin(α-+-β)- 4 cosα cosβ

Rozwiązanie

Niech K i L będą środkami odpowiednio krawędzi BC i EF oraz oznaczmy AP = x , P D = y .

PIC

Przy tych oznaczeniach podane kąty nachylenia płaszczyzn P BC i PEF do płaszczyzn podstaw graniastosłupa są odpowiednio równe

∡P KA = α i ∡P LD = β.

Z trójkątów prostokątnych PAK i PDL mamy

√ -- PA--= tg α ⇒ x = PA = AK tg α = a--3-⋅tgα AK 2√ -- PD a 3 ----= tg β ⇒ y = PD = DL tgβ = -----⋅tg β. DL 2

Objętość ostrosłupa BCF EP jest więc równa

√ -- 1- 1- 1- a--3- V = 3PBCFE ⋅AK = 3 ⋅ BC ⋅BE ⋅AK = 3 ⋅a⋅(x + y)⋅ 2 = 2√ --( √ -- √ -- ) 3 = a---3- a--3-⋅tgα + a--3-⋅tgβ = a--(tg α + tgβ ) = 6 2 2 4 3 ( ) 3 3 a-- sin-α- sinβ- a-- sin-αcos-β-+-sinβ-cos-α a-sin(α-+-β)- = 4 cosα + cosβ = 4 ⋅ co sα cosβ = 4 cosα cosβ .
Wersja PDF