Zadanie nr 1199943

Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o stosunku boków 1:3. Objętość bryły jest równa 12. Oblicz wymiary tego prostopadłościanu, aby jego powierzchnia całkowita była najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą powierzchnię.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez i długości krawędzi podstawy prostopadłościanu, a przez długość jego wysokości.

Z podanej objętości mamy

12 = a ⋅3a⋅ b ⇒ b = -4-. a 2

Liczymy teraz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu.

( 16) Pc = 2(3a2 + ab + 3ab ) = 2(3a2 + 4ab) = 2 3a2 + --- . a

Aby otrzymać najmniejsze pole całkowite musimy więc wyznaczyć najmniejszą możliwą wartość funkcji f(a) = 3a2 + 16a określonej dla a ∈ (0,+ ∞ ) . Liczymy pochodną

( ) ′ 1 6 6a 3 − 1 6 6 a3 − 83 f (a) = 6a − --2 = -----2--- = -----2----. a a a

Widać teraz, że pochodna jest ujemna dla ( ) ∘3 8- a ∈ 0, 3 i dodatnia dla ( ∘ -- ) a ∈ 3 8,+ ∞ 3 . To oznacza, że funkcja jest malejąca w przedziale ( -⟩ ∘3 8 0 , 3 i rosnąca w przedziale ⟨ -- ) ∘38 3 ,+∞ . Najmniejsze pole otrzymamy więc dla ∘ -- ∘ --- 3√- a = 3 83 = 3 82⋅97-= 239- . Pozostałe krawędzie prostopadłościanu mają wtedy długości √3-- 3a = 2 9 i