/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 1200025

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt, którego stosunek długości boków wynosi 2:3. Pole podstawy ostrosłupa jest równe 24 cm 2 . Każda krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α = 30 ∘ . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Szkicujemy ostrosłup

PIC

Jeżeli oznaczymy AB = 2x i BC = 3x , to z podanego pola podstawy mamy

24 = 2x ⋅3x = 6x 2 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = 2.

Wysokość ostrosłupa obliczymy z trójkąta prostokątnego AES , ale zanim to zrobimy obliczmy długość odcinka AE .

√ --- 1- 1∘ ---2------2- 1-∘ --2------2 --13- √ --- AE = 2AC = 2 AB + BC = 2 4x + 9x = 2 x = 13.

Obliczamy teraz z trójkąta AES wysokość ostrosłupa.

√ -- √ --- √ -- √ --- -SE-= tg3 0∘ = --3- ⇒ SE = 13⋅ --3-= --39. AE 3 3 3

Liczymy jeszcze wysokości ścian bocznych

∘ ----------- ∘ ------- ∘ ---- √ --- SK = SE2 + EK 2 = 39-+ 9 = 120-= 2--30- 9 9 3 ∘ ----------- ∘ -39---- ∘ 75- 5√ 3- SL = SE2 + EL 2 = ---+ 4 = ---= ----. 9 9 3

Pole powierzchni bocznej jest więc równe

√ --- √ -- √ --- √ -- 2 30 5 3 8 30 + 30 3 Pb = 2PABS + 2PBCS = AB ⋅SK + BC ⋅SL = 4 ⋅------+ 6 ⋅-----= --------------. 3 3 3

 
Odpowiedź: √ -- √- 8--30+330-3 cm 2

Wersja PDF