Zadanie nr 1288735

Zróbmy szkicowy rysunek.

Musimy znaleźć odcinek, który jest jednocześnie prostopadły do i . Twierdzimy, że taką własność ma odcinek łączący środek krawędzi ze środkiem przekątnej .

Jest on prostopadły do , bo leży w płaszczyźnie prostopadłej do i przechodzącej przez środek krawędzi . Z drugiej, strony trójkąt jest równoramienny, więc jego środkowa jest jednocześnie jego wysokością, czyli jest prostopadły do .

Obliczymy długość odcinka z trójkąta prostokątnego .

Ponieważ skala nie jest istotna, możemy założyć, że krawędź sześcianu ma długość 1. Długość przekątnej sześcianu liczymy z trójkąta prostokątnego

Zatem

Podobnie, z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie , obliczmy długość odcinka

Możemy teraz obliczyć długość odcinka .

Jest to oczywiście dokładnie połowa długości przekątnej ściany sześcianu.

Zauważmy, że ponieważ punkt jest środkiem sześcianu, punkt ten jest jednocześnie środkiem kwadratu , którego wierzchołki są środkami krawędzi i . Zatem jest połową przekątnej kwadratu . Kwadrat ten jest przystający do kwadratu , co dowodzi, że odcinek ma długość równą połowie przekątnej ściany sześcianu.