/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 1311502

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, którego kąt ostry ma miarę β . Wszystkie krawędzie boczne mają długość d i są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze α . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Jak to w zadaniach ze stereometrii zaczynamy od dużego rysunku.

PIC

Przyjmijmy oznaczenia z (lewego) rysunku, tzn. niech DS będzie wysokością ostrosłupa, AD = BD = CD = d oraz ∡ACB = 90∘ . Najważniejszą (i najtrudniejszą) rzeczą do zrobienia jest ustalenie, gdzie leży rzut wierzchołka D na płaszczyznę podstawy – jeżeli to ustalimy, to mając d i α będziemy mogli zacząć liczyć długości odcinków w trójkącie ABC .

Zauważmy, że trójkąty prostokątne ASD , BSD i CSD są przystające (mają dwa takie same boki). Zatem

AS = BS = CS .

Oznacza to, że S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC . Ale środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, to dokładnie środek przeciwprostokątnej. Zatem S to środek krawędzi AB i płaszczyzna ABD jest prostopadła do płaszczyzny podstawy (prawy rysunek).

Teraz wszystko jest już proste. Wysokość DS ostrosłupa ABC obliczamy z trójkąta prostokątnego CSD .

DS-- DC = sin α DS = dsin α.

Długość przeciwprostokątnej trójkąta ABC liczymy z trójkąta prostokątnego BSD .

SB ----= cosα BD SB = dcos α AB = 2d cosα .

Pozostało obliczyć długości przyprostokątnych

BC AC AB--= sin β AB--= co sβ BC = AB sin β AC = AB cosβ BC = 2dco sα sin β AC = 2d cosα cos β.

Stąd

1- 1- V = 3 ⋅2 BC ⋅AC ⋅DS = 1 = -(2d cos αsin β)(2d cosα cos β)(d sin α) 6 = 1d 3sin2α sin2 βco sα. 6

Jeżeli ktoś zastanawia się czy to możliwe, żeby istniał ostrosłup spełniający warunki zadania, to polecam uwadze kolejny rysunek, który pokazuje jak taki ostrosłup skonstruować w prostopadłościanie.

PIC

 
Odpowiedź: 16 d3sin2 αsin 2βco sα

Wersja PDF