/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 1499052

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem, którego przekątna o długości d tworzy z wysokością kąt o mierze α .

  • Wyprowadź wzór na objętość walca.
  • Oblicz tę objętość dla d = 8 3√ 2 i α = 60 ∘ .

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Po rozwinięciu powierzchni bocznej walca, otrzymamy prostokąt o bokach długości H i 2πr , gdzie r jest promieniem podstawy walca.

  • Patrząc na trójkąt ABC mamy
    BC ----= co sα ⇒ H = BC = dco sα AC AB-- dsin-α- AC = sin α ⇒ 2πr = d sin α ⇒ r = 2 π .

    Liczymy teraz objętość walca.

    2 2 3 2 V = πr 2 ⋅H = π ⋅ d-sin--α-⋅dc osα = d-sin--αco-sα. 4π 2 4π

     
    Odpowiedź: d3sin2α-cosα- V = 4π

  • Podstawiamy we wzorze z poprzedniego podpunktu podane dane.
    8 3 ⋅2 ⋅ 34 ⋅ 12 96 V = ----4-π---- = π-.

     
    Odpowiedź: 9π6

Wersja PDF