Zadanie nr 1599032

Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne o krawędzi bocznej równej 3. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego z tych ostrosłupów, dla którego pole przekroju płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy oraz wierzchołek ostrosłupa jest największe możliwe.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Niech będzie środkiem kwadratu w podstawie ostrosłupa oraz i niech będą środkami krawędzi i . Oznaczmy też przez długość krawędzi podstawy ostrosłupa. Przekrój EF S jest trójkątem równoramiennym o podstawie

-- 1 √ 2 EF = --DB = ---x. 2 2

Jego wysokość możemy obliczyć z trójkąta prostokątnego SLK .

----------- ∘ --------------(------)-2 ∘ 2 2 2 2 1- SL = SK + LK = SA − AK + 2 AK = ∘ --------------- ∘ -------- 1- 2 1-2 3- 2 = 9 − 2x + 8x = 9− 8x .

Pole trójkąta SEF jest więc równe

√ -- ∘ -------- √ --∘ ---------- 1- 1- --2- 3- 2 --6- 2 1- 4 PSEF = 2 ⋅EF ⋅SL = 2 ⋅ 2 x⋅ 9 − 8x = 4 3x − 8 x .

Badamy teraz przebieg zmienności funkcji

1 f(x ) = 3x2 − --x4 8

określonej dla x ∈ (0,3√ 2) (bo musi być spełniony warunek SA > AK ). Liczymy pochodną

1 1 1 √ -- √ -- f′(x) = 6x − -x3 = − -x(x 2 − 1 2) = −-x (x− 2 3)(x + 2 3). 2 2 2

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla √ -- x ∈ (0,2 3) i ujemna dla √ -- √ -- x ∈ (2 3,3 2) . To oznacza, że funkcja y = f(x) rośnie w przedziale √ -- (0,2 3⟩ i maleje w przedziale √ -- √ -- ⟨2 3 ,3 2) . W takim razie pole trójkąta SEF jest największe jeżeli √ -- x = 2 3 . Pozostało obliczyć pole powierzchni bocznej ostrosłupa.