/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 2226850

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W ostrosłup prawidłowy czworokątny wpisano kulę o promieniu 2. Ściana boczna ostrosłupa nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 ∘ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Podana informacja o promieniu kuli wpisanej w ostrosłup oznacza w szczególności, że promień okręgu wpisanego w trójkąt GES jest równy 2. To zaś pozwala łatwo obliczyć długość krawędzi podstawy.

Sposób I

Trójkąt GES jest równoboczny, więc jeżeli oznaczamy przez a długość jego boku, to

√ -- √ -- 1 a 3 a 3 6 2 = 3-⋅--2-- = --6-- / ⋅√--- √ --3 -6-- 12-- 12--3- √ -- a = 2 ⋅√ --= √ --= 3 = 4 3. 3 3

Wysokość ostrosłupa, czyli wysokość trójkąta GES jest 3 razy dłuższa od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt, czyli

SF = 3⋅2 = 6.

Możemy teraz obliczyć objętość ostrosłupa.

1 2 1 √ --2 V = --a ⋅ SF = -⋅ (4 3) ⋅6 = 96. 3 3

Sposób II

Patrzymy na trójkąt F EO .

√ -- -2- ∘ --3- F E = tg 30 = 3 2 6 √ -- F E = -√- = √---= 2 3 33- 3 √ -- AB = 2FE = 4 3.

Z trójkąta F ES obliczamy długość wysokości SF ostrosłupa.

√ -- √ -- SF- = tg 60∘ = 3 ⇒ SF = 3FE = 6. F E

Możemy teraz obliczyć objętość ostrosłupa.

1 1 √ -- V = --AB 2 ⋅ SF = --⋅(4 3)2 ⋅ 6 = 96. 3 3

 
Odpowiedź: 96

Wersja PDF