/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 2343339

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD , w którym AB = 1 , √ -- BC = 2 . Wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa mają długość 1. Wyznacz wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej kąta między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

Zauważmy, że trójkąt CDS jest równoboczny, a trójkąt BCS prostokątny (jest to połówka kwadratu). Najtrudniejsze w tym zadaniu to odpowiednio narysować płaszczyznę, w której będziemy liczyć miarę kąta między ścianami. Płaszczyzna ta musi być prostopadła do krawędzi kąta, w dodatku możemy tak ją wybrać, żeby przechodziła przez punkt D . W otrzymanym trójkącie DF G znamy długość boku DF (wysokość w trójkącie równobocznym)

√ -- --3- DF = 2 .

Aby wyliczyć pozostałe boki (liczymy je, żeby z twierdzenia cosinusów wyliczyć co s∡GF D ) musimy ustalić, gdzie na boku BC leży punkt G . To co wiemy, to że odcinek GF jest prostopadły do krawędzi SC oraz 1 FC = 2 . Jak wcześniej zauważyliśmy, ∘ ∡GCF = 45 (bo BCS jest równoramiennym trójkątem prostokątnym). Zatem GCF jest równoramiennym trójkątem prostokątnym, czyli

1- GF = FC = 2 .

Ponadto √- GC = 22- , więc z trójkąta prostokątnego GCD mamy

GD 2 = GC 2 + CD 2 = 1-+ 1 = 3. 2 2

Stosujemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie GF D .

GD 2 = GF 2 + DF 2 − 2GF ⋅ DF cos α √ -- 3-= 1-+ 3-− 2 ⋅ 1-⋅--3co sα 2 4 √ 4- 2 2 1 3 --= − ----cosα 2 2 √ -- √1-- --3- cos α = − 3 = − 3 .

Stąd

∘ ------ √ -- ∘ ---------- 1 6 sin α = 1 − cos2α = 1 − --= ----, 3 3

oraz

√ - --6 √ -- tg α = sin-α = --3√--= − 2. co sα − --3 3

 
Odpowiedź: √6- sin α = 3 , √-3 cosα = − 3 , √ -- tg α = − 2

Wersja PDF