/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 2376636

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 35 . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy ostrosłupa. Korzystając ze wzoru na długość przekątnej kwadratu mamy

√ -- a--2- EC = 2 .

Z podanego cosinusa kąta α między krawędzią ostrosłupa, a płaszczyzną podstawy mamy

√ - 3 EC a--2 a√ 2- 5 5 √ 2- --= cos α = ----= -2-- ⇒ SC = -----⋅ --= -----a. 5 SC SC 2 3 6

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SCE .

2 2 2 SE + EC = SC a2 50 2 2 56+ 2--= 36a 2 56 = 32-a2 / ⋅ 3-6 36 3 2 √ -- √ -- a 2 = 8⋅3 6 ⇒ a = 2 2 ⋅6 = 1 2 2.

Obliczamy jeszcze wysokość h ściany bocznej ostrosłupa.

∘ ------(--)-2 √ --------- √ ---- √ --- h = SE2 + a- = 256 + 72 = 3 28 = 2 82 . 2

Pozostało obliczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

1 √ ---- √ --- P = PABCD + 4PBCS = a2 + 4 ⋅--⋅a ⋅h = 288 + 48 164 = 28 8+ 96 41. 2

 
Odpowiedź: √ --- Pc = 2 88+ 96 41

Wersja PDF