Zadanie nr 2467052

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne o objętości V = 4 . Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez długość krawędzi podstawy, a przez wysokość graniastosłupa.

Z podanej objętości mamy

4 = a2H ⇒ H = -4-. a 2

Liczymy teraz pole powierzchni całkowitej.

16 Pc = 2a2 + 4aH = 2a2 + --. a

Aby otrzymać najmniejsze pole całkowite musimy więc wyznaczyć najmniejszą możliwą wartość funkcji 2 16 f(a) = 2a + -a określonej dla a ∈ (0,+ ∞ ) . Liczymy pochodną

3 f′(a ) = 4a− 16-= 4⋅ a-−--4. a2 a2

Widać teraz, że pochodna jest ujemna dla ( √3-) a ∈ 0, 4 i dodatnia dla ( 3√ -- ) a ∈ 4,+ ∞ . To oznacza, że funkcja jest malejąca w przedziale ( √3-⟩ 0, 4 i rosnąca w przedziale ⟨√3-- ) 4,+ ∞ . Najmniejsze pole otrzymamy więc dla a = 3√ 4- . Wysokość prostopadłościanu jest wtedy równa