Zadanie nr 2530955

Oto w jaki sposób można uzasadnić, że suma odległości dowolnego punktu wewnątrz trójkąta równobocznego od boków tego trójkąta jest stała, tzn. nie zależy od wyboru tego punktu.

Łączymy punkt z wierzchołkami trójkąta i zapisujemy równość pól
$PABC = PABP + PBCP + PCAP .$
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta
$1 1 1 1 1 -ah = -ah 1 + -ah2 + --ah3 = --a(h1 + h2 + h3). 2 2 2 2 2$
Wnioskujemy, że , a więc suma ta nie zależy od wyboru punktu .

Postępując w analogiczny sposób wykaż, że suma odległości dowolnego punktu wewnątrz czworościanu foremnego od jego ścian jest stała, to znaczy nie zależy od wyboru punktu .

Rozwiązanie

Postępujemy analogicznie.

Łącząc punkt z wierzchołkami czworościanu, otrzymujemy 4 czworościany ABCP , BCDP , CDAP , ABDP . Jeśli przez oznaczymy pole powierzchni każdej ze ścian czworościanu ABCD , h ,h ,h ,h 1 2 3 4 są odległościami punktu od ścian czworościanu, a wysokością czworościanu to mamy równość objętości