Zadanie nr 2741617

Niech będzie sześcianem o krawędzi długości . Konstruujemy kolejno sześciany K2,K 3,... takie, że pole powierzchni całkowitej kolejnego sześcianu jest dwa razy większe od pola powierzchni poprzedniego sześcianu. Oblicz sumę objętości sześcianów K ,K ,...,K 1 2 8 .

Rozwiązanie

Zauważmy, że jeżeli jest długością krawędzi jednego z sześcianów, to kolejny sześcian ma krawędź długości √ -- 2a (żeby pole powierzchni wzrosło dwukrotnie).

To oznacza, że ten kolejny sześcian ma objętość

√ -- √ -- ( 2a )3 = 2 2a3.

Objętości kolejnych sześcianów tworzą więc ciąg geometryczny (an) z pierwszym wyrazem a = a3 1 i ilorazem √ -- 2 2 . Suma 8 początkowych wyrazów tego ciągu jest równa