Zadanie nr 3041458
W sferę o promieniu 
wpisano ostrosłup prawidłowy trójkątny w ten sposób, że wszystkie wierzchołki ostrosłupa leżą na powierzchni sfery. Wiedząc, że krawędź boczna ostrosłupa ma długość 13, a krawędź podstawy długość 
, oblicz 
.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Zauważmy, że prosta 
zawierająca wysokość ostrosłupa zawiera też średnicę sfery, czyli trójkąt 
jest prostokątny (kąt 
jest oparty na średnicy). Ponadto 
jest wysokością tego trójkąta. Obliczmy długość tego odcinka – ma on długość 
wysokości trójkąta równobocznego 
, czyli
Stąd (twierdzenie Pitagorasa w trójkącie 
)
Teraz wystarczy zauważyć, że trójkąty prostokątne 
i 
są podobne (mają wspólny kąt 
). Mamy więc
Odpowiedź: 
