/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 3261363

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, wiedząc, że objętość brył powstałych z obrotu tego trójkąta wokół przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 36π cm 3 i 1 8π cm 3 .

Rozwiązanie

Jeżeli naszkicujemy sobie bryły powstałe w wyniku opisanego obrotu to widać, że są to dwa stożki o promieniu podstawy i wysokości równej odpowiednio a i b oraz b i a , gdzie a,b - długości przyprostokątnych trójkąta.

PIC

Ze wzoru na obiętość stożka mamy zatem

{ 13πa 2b = 36 π 1πab 2 = 18 π. 3

Podzielmy pierwsze równanie przez drugie stronami.

a2b ----= 2 ab2 a-= 2 ⇒ a = 2b. b

Podstawmy tę wartość do drugiego równania

1 --π ⋅2b3 = 1 8π 3 b3 = 2 7 ⇒ b = 3.

Zatem a = 2b = 6 . Długość przeciwprostokątnej obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

∘ -2----2 √ ------- √ --- √ -- c = a + b = 9 + 36 = 45 = 3 5 .

 
Odpowiedź: √ -- 3 5 cm

Wersja PDF