Zadanie nr 3376502

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa , a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Aby zaznaczyć kąt między dwoma sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa dorysowujemy dwie wysokości i sąsiednich ścian bocznych.

Płaszczyzna BED jest prostopadła do prostej (bo zawiera dwie nierównoległe proste prostopadłe do ), więc kąt BED jest kątem między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa.

Jeżeli oznaczymy długość krawędzi podstawy przez , to mamy

-- 1 √ -- a√ 2 OB = OC = -a 2 = ----. 2 2

Sposób I

Z trójkąta prostokątnego BOE obliczamy długość odcinka .

√- OB α OB a-2- a√ 2- ----= tg -- ⇒ OE = ---α = -2α-= ----α-. OE 2 tg 2 tg-2 2 tg2

Korzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym OCE .

∘ ------------ ∘ --2------2--- ┌│ ---------- EC = OC 2 − OE 2 = a--− --a----= √a--⋅│ 1 − --1---= 2 2tg2 α2 2 ∘ sin2 α2- cos2 α2 ∘ ---------α- ∘ ---2 α-------α- √ -------- -a-- cos2-2 -a-- sin--2 −-co-s22 a--−--cosα- = √ 2 ⋅ 1− sin2 α = √ 2 ⋅ sin2 α = √ 2 sin α . 2 2 2

Zauważmy teraz, że trójkąty SOC i OEC są oba prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku . Są więc podobne i mamy

OC-- EC-- OS = OE √- a√-−cosα- √ -------- sin α√ -------- √ -------- a-2- √ 2sin α tg α − cos α cos2 α − co sα − cos α -2--= ---√---2-= ---2----α-----= ---2----α-----= ------α--- h 2atg2 α- sin 2 sin 2 cos 2 √ --2√ -------- h--2-⋅--−--cosα- a = co s α . 2

Pozostało jeszcze obliczyć objętość ostrosłupa

2 V = 1-⋅Pp ⋅H = 1a2 ⋅h = 1-⋅ −-2h-co-sα-⋅h = − 2h3 ⋅ co-sα-. 3 3 3 cos2 α2 3 cos2 α2

Sposób II

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SOC .

∘ --------- √ ---------- ∘ ------------ 2a2 4h2 + 2a2 SC = SO 2 + OC 2 = h 2 + ----= ------------. 4 2

Obliczamy teraz długość odcinka – można to zrobić porównując dwa wzory na pole trójkąta prostokątnego SOC ( jest wysokością tego trójkąta), ale my zrobimy to inaczej – korzystamy z podobieństwa trójkątów prostokątnych SOC i SEO .