/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 3565554

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 15 i 20 obraca się wokół przeciwprostokątnej. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej bryły.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku. Od razu rysujemy przekrój osiowy otrzymanej bryły.

PIC

Widać, że otrzymana bryła składa się z dwóch stożków o wspólnej podstawie, której promień r jest równy wysokości wyjściowego trójkąta prostokątnego opuszczonej na przeciwprostokątną. Wysokości tych stożków w sumie dają długość przeciwprostokątnej, czyli

∘ ----2-----2- ∘ --2-----2- √ ---- h1 + h2 = AC = AB + BC = 15 + 20 = 6 25 = 25.

Długość promienia r możemy obliczyć z porównania dwóch wzorów na pole.

AB ⋅BC = 2PABC = AC ⋅ r 15 ⋅20 = 25r r = 12.

Długość promienia r mogliśmy też obliczyć wykorzystując podobieństwo trójkątów ABC i ADB .

Możemy teraz policzyć objętość otrzymanej bryły.

1 2 1 2 1 2 1 V = -πr h 1 + -πr h2 = --πr (h1 + h2) = -π ⋅14 4⋅25 = 1200π . 3 3 3 3

Liczymy jeszcze pole powierzchni (ze wzoru na pole powierzchni bocznej stożka).

Pc = πr ⋅ AB + πr ⋅BC = πr (AB + BC ) = 12π ⋅35 = 420 π.

 
Odpowiedź: V = 120 0π, Pc = 42 0π

Wersja PDF