/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 3871979

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na płaskiej powierzchni położono trzy kule K 1,K2,K 3 , każda o promieniu 2 tak, że kule K 1 i K2 są styczne w punkcie P3 , kule K2 i K 3 są styczne w punkcie P1 , a kule K 3 i K1 są styczne w punkcie P2 . Następnie położono na tych kulach kulę K 4 o promieniu 3, która jest styczna do kul K ,K ,K 1 2 3 odpowiednio w punktach S1,S 2,S 3 .

  • Uzasadnij, że odcinki P1P 2 i S 1S2 są równoległe.
  • Oblicz obwód trapezu P1P2S 1S2 .

Rozwiązanie

Oczywiście rozpoczynamy od narysowania opisanej sytuacji.

PIC

Zrobienie nawet schematycznego rysunku nie jest łatwe, ale musimy sobie co najmniej tyle narysować, żeby było widać, że wystarczy się zajmować czworościanem O O O O 1 2 3 4 , gdzie punkty te są środkami kolejnych kul. Punkty styczności kul będą dzielić krawędzie tego czworościanu w sposób pokazany na prawym rysunku.

  • W trójkącie O 1O4O 2 mamy
    O-1O-4 S-1O4 O 2O 4 = S 2O4,

    co na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa oznacza, że odcinki S1S2 i O1O 2 są równoległe. Podobnie, odcinek P1P2 łączy środki boków w trójkącie O 1O 2O3 , czyli jest równoległy do odcinka O 1O2 . Skoro każdy z odcinków S1S2 i P 1P2 jest równoległy do odcinka O O 1 2 , to muszą one być równoległe.

  • Łatwo wyliczyć długości podstaw trapezu. Z zauważonych w poprzednim podpunkcie równoległości mamy
    P P = 1O O = 2 1 2 2 1 2

    oraz

    O 4S1 O 4O1 ----- = ------ S1S2 O 1O2 --3-- 5- 12- S 1S2 = 4 ⇒ S1S 2 = 5 .

    Odrobinę trudniej jest z ramieniem trapezu – widać, że da się wyliczyć długość odcinka P1S 2 z trójkąta P 1S2O 2 jeżeli tylko będziemy znali cosα . Cosinus ten można wyliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie O2O 3O 4 , ale można też prościej: trójkąt O O O 2 3 4 jest równoramienny, więc środkowa O P 4 1 jest jego wysokością. Zatem z trójkąta O 2P1O 4 mamy

    cos α = O-2P1-= 2-. O 2O 4 5

    Pozostało teraz policzyć długość odcinka P1S 2 z twierdzenia cosinusów w trójkącie O2P 1S2 .

    (P1S2)2 = (O 2P1)2 + (O 2S 2)2 − 2O 2P 1 ⋅O 2S2co sα 2 16 ( 4) 4 ⋅6 (P1S2)2 = 4 + 4 − 8 ⋅--= 8− ---= 4 2− -- = ---- -- --5 5 5 5 2 √ 6 2 √ 30 P1S2 = -√--- = ------. 5 5

    Zatem obwód trapezu jest równy

    √ --- √ --- 2 + 12-+ 2⋅ 2--30-= 22+--4--30. 5 5 5

     
    Odpowiedź: √-- 22+4-30- 5

Wersja PDF