/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 4377912

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest 2,5 razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Przez przekątną podstawy i środek rozłącznej z nią krawędzi bocznej poprowadzono płaszczyznę. Oblicz pole otrzymanego przekroju, wiedząc, że krawędź podstawy ostrosłupa ma długość a .

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

ZINFO-FIGURE

Po pierwsze znamy podstawę trójkąta będącego opisanym przekrojem.

√ -- AC = a 2.

Pozostało obliczyć jego wysokość EF .

Sposób I

Obliczymy ją z trójkąta prostokątnego FBS . W tym trójkącie mamy

∘ ------------ ∘ --- √ -- ∘ ---2-----2- 25- 2 1-2 27- 3--3- BS = FS + FB = 4 a + 2a = 4 a = 2 a.

Ponadto

√- √ -- FB -22a- 2 co s∡F BE = BS-= 3√-3a = -√---. --2-- 3 3

Stosujemy teraz twierdzenie cosinusów do trójkąta F BE .

F E2 = F B2 + BE 2 − 2FB ⋅BE cos∡F BE 1 F E2 = F B2 + -BS 2 − FB ⋅BS cos∡F BE 4 √ -- √ -- √ -- 2 1- 2 27-2 --2a- 3--3a- ---2- F E = 2 a + 16a − 2 ⋅ 2 ⋅ √ -- 3 3 F E2 = 1-a2 + 27a2 − 1-a2 2 16 2 -- 2 7 3 √ 3 F E2 = ---a2 ⇒ FE = -----a. 1 6 4

Pozostało obliczyć pole

√ -- √ -- 1- 1- √ -- 3--3- 3--6- 2 P = 2 AC ⋅FE = 2 ⋅a 2 ⋅ 4 a = 8 a .

Sposób II

Tak naprawdę, odcinek FE mogliśmy obliczyć znacznie prościej zauważając, że jest to środkowa w trójkącie prostokątnym FBS , a długość środkowej opuszczonej na przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym jest równa połowie przeciwprostokątnej (bo obie te długości to promień okręgu opisanego na trójkącie). Zatem FE = EB = 12BS . Długość odcinka BS i pole liczymy jak poprzednio.  
Odpowiedź: 3√-6 2 8 a

Wersja PDF