/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 4439979

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy √- 2-7- 7 . Wykaż, że pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa stanowi 2 3 jego pola powierzchni całkowitej.

PIC

Rozwiązanie

Oznaczmy przez a krawędź podstawy, a przez h i H odpowiednio długości wysokości ściany bocznej oraz wysokości ostrosłupa.

PIC

Ponieważ środek O trójkąta równobocznego ABC dzieli jego wysokość DC w stosunku 2:1, mamy

√ -- √ -- 1- a--3- a--3- DO = 3 ⋅ 2 = 6 √ -- OC = 2DO = a--3. 3

Z podanego cos α obliczmy tgα .

∘ ---------- ∘ ------- ∘ --- √ --- sin α = 1 − cos2α = 1 − 2-8 = 21-= --21- 4 9 49 7 √21- √ -- tg α = sinα- = -√7- = --3. cosα 2-7- 2 7

Stąd

√ 3- H √ 3- √ 3- a√ 3- a ----= ---- ⇒ H = ---⋅ OC = ----⋅ -----= -. 2 OC 2 2 3 2

Teraz z trójkąta prostokątnego SDO obliczamy długość h wysokości ściany bocznej.

┌│ --------(--√---)-2 ∘ ------------ │∘ ( a)2 a 3 h = SD = SO 2 + DO 2 = -- + ----- = 2 6 ∘ --2-----2 ∘ ----2 ∘ ---2 √ -- = a-+ 3a--= 12a--= 3a--= a---3. 4 3 6 36 9 3

W takim razie

2√ -- 2√ -- 2√ -- P = 3⋅P = 3 ⋅ 1-ah = 3 ⋅ 1-⋅ a-3 = a---3-= 2 ⋅ a--3-= 2P . b ABS 2 2 3 2 4 p

Stąd

Pb- ---Pb--- ---2Pp--- 2- P = P + P = 2P + P = 3. c b p p p
Wersja PDF