Zadanie nr 4686427

Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt, w którym jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego. Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe 1. Jakie powinny być wymiary tego prostopadłościanu, aby jego objętość była największa? Oblicz tę największą objętość.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez i długości krawędzi podstawy prostopadłościanu, a przez długość jego wysokości.

Z podanego pola powierzchni całkowitej mamy

2 2(2a + 2ab + ab) = 1 / : 2 2 1 2a + 3ab = -- 1 22 2 2-−-2a-- 1-−-4a-- b = 3a = 6a .

Liczymy teraz objętość prostopadłościanu.

2 2 2 1−--4a-- 1-−-4a-- 1- 3 V = 2a ⋅a⋅b = 2a ⋅ 6a = a ⋅ 3 = 3(a − 4a ).

Aby otrzymać największą objętość prostopadłościanu musimy więc wyznaczyć największą możliwą wartość funkcji f(a) = a − 4a3 określonej dla ( 1) a ∈ 0,2 ( 1 a < 2 , bo musi być b > 0 ). Liczymy pochodną

( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) f′(a) = 1 − 12a2 = − 1 2 a2 − --- = − 12 a− √---- a + √---- = 12 ( 12 ) ( 12 ) ( ) ( ) √ -- √ -- = − 12 a − --1√--- a+ -√1-- = − 1 2 a− --3- a+ --3- . 2 3 2 3 6 6

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla ( √3-) a ∈ 0, 6 i ujemna dla ( √3- 1) a ∈ 6 ,2 . To oznacza, że funkcja jest rosnąca w przedziale ( √3⟩ 0, 6 i malejąca w przedziale ⟨√-3 1) 6 ,2 . Największą wartość objętości otrzymamy więc dla √- -3- a = 6 . Pozostałe krawędzie prostopadłościanu mają wtedy długości √- 2a = -33- i