/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 5062238

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS pole powierzchni bocznej jest trzy razy większe od pola podstawy. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

PIC

Rozwiązanie

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy, a przez h i H odpowiednio długości wysokości ściany bocznej oraz wysokości ostrosłupa.

PIC

Sposób I

Z podanego stosunku pola bocznego do pola podstawy mamy

1 √ -- 3 = 3⋅√2ah-= -6a√h--= -6h√--- ⇒ h = a--3. a2-3 a2 3 a 3 2 4

Ponieważ środek O trójkąta równobocznego ABC dzieli jego wysokość DC w stosunku 2:1, mamy

√ -- √ -- DO = 1-⋅ a--3-= a--3. 3 2 6

Z trójkąta prostokątnego DOS obliczamy teraz wysokość ostrosłupa.

┌│ -----(--√--)-2- ∘ ----------- ∘ ----- ∘ ---- √ -- ∘ ------------ │∘ a 3 3a2 3a2 2 4a2 6a2 a 6 H = SD 2 − DO 2 = h2 − ----- = ----− ----= ----- = ----= ----. 6 4 36 3 6 9 3

Stąd

a√-6- √2- √ -- sin α = H- = -√3- = -3-= 2--2-. h a-3- 1 3 2 2

Sposób II

Zauważmy, że z treści zadania wynika, że ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi o polu takim samym jak pole podstawy ostrosłupa. To oznacza, że ściany boczne są trójkątami równobocznymi i mamy do czynienia z czworościanem foremnym. W szczególności

√ -- a--3- h = 2 .

Resztę rachunków przeprowadzamy tak samo jak w pierwszym sposobie.  
Odpowiedź: √ - 2--2 3

Wersja PDF