Zadanie nr 5245502

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest trójkąt równoboczny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa √ --- 2 17 , a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy 4. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokość ściany bocznej.

Sposób I

Jeżeli oznaczymy wysokość ostrosłupa przez , to z podanego tangensa kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy mamy

H H ----= 4 ⇒ DO = -- . DO 4

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie SOD .

SO 2 + DO 2 = SD 2 2 H 2 + H-- = 68 16 1 7 2 16 ---H = 68 / ⋅--- 1 62 17 H = 6 4 ⇒ H = 8.

Stąd DO = H4-= 2 . Jeżeli oznaczymy przez długość krawędzi podstawy ostrosłupa, to mamy

√ -- √ -- 1 a 3 a 3 2 = DO = 3-⋅--2--= --6-- √ -- a = 1√-2-= 4 3. 3

Liczymy teraz objętość ostrosłupa.

2√ -- √ -- √ -- V = 1-⋅ a---3⋅ H = 1-⋅ 48-3-⋅8 = 32 3. 3 4 3 4

Sposób II

Tym razem obliczmy najpierw sin α i cosα . Szkicujemy trójkąt prostokątny, w którym tg α = 4 . Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.