Zadanie nr 5404267

Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 3 27 cm , Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest funkcją długości jego krawędzi podstawy. Napisz wzór tej funkcji i wyznacz jej przedziały monotoniczności.

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy długość krawędzi podstawy graniastosłupa przez , a jego wysokość przez to mamy równanie

a2H = 27 ⇒ H = 27. a2

Liczymy teraz pole powierzchni całkowitej

Pc = 2a2 + 4aH = 2a 2 + 4⋅27-. a

Oznaczmy to wyrażenie przez f(a) . Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji , liczymy jej pochodną

3 2 f ′(a) = 4a− 4⋅-27-= 4 ⋅ a-−-27-= 4⋅ (a−--3)(a-+--3a+--9). a2 a2 a2

Ponieważ a2 + 3a + 9 > 0 mamy f′(a ) > 0 dla a > 3 i f′(a) < 0 dla a ∈ (0,3) . Zatem funkcja jest na tych przedziałach odpowiednio rosnąca i malejąca.
Odpowiedź: Pc = 2a 2 + 4⋅2a7- , rosnąca dla a ∈ ⟨3,+ ∞ ) , malejąca dla a ∈ (0,3⟩