/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 5458870

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkty K ,L i M są środkami krawędzi BC ,GH i AE sześcianu ABCDEF GH o krawędzi długości 1 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLM .

PIC

Rozwiązanie

Dorysujmy odcinki AK ,KG i EL .

PIC

Trzy otrzymane trójkąty AKM ,GKL i ELM są przystające, więc MK = KL = LM , co oznacza, że trójkąt KLM jest równoboczny. Obliczmy długość jego boku.

∘ ---------- ∘ -- ∘ ------------- ∘ -------------------- 1 1 3 MK = AK 2 + AM 2 = AB 2 + BK 2 + AM 2 = 1 + --+ --= -. 4 4 2

Ze wzoru na pole trójkąta równobocznego mamy

√ -- 3 √ -- √ -- MK--2--3- 2-⋅--3- 3--3- PKLM = 4 = 4 = 8 .

 
Odpowiedź: √- P = 3-3- KLM 8

Wersja PDF