/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 5907032

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 4, a krawędź podstawy ma długość 1. Ostrosłup przecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź podstawy oraz jest prostopadła do przeciwległej krawędzi bocznej. Oblicz pole powierzchni tego przekroju.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Ponieważ znamy długość krawędzi podstawy, do obliczenia pola przekroju brakuje nam wysokości FG tego przekroju.

Zauważmy najpierw, że

√ -- √ -- AB 3 3 BF = ------- = ---- 2 2√ -- √ -- 2- 2- --3- --3- BE = 3 BF = 3 ⋅ 2 = 3 .

Wiemy, że płaszczyzna AGC jest prostopadła do krawędzi BD , więc trójkąt F BG jest prostokątny. Trójkąt ten ma kąt wspólny α = ∡F BG = ∡DBE z trójkątem prostokątnym DEB .

Sposób I

W trójkątach F BG i DEB mamy

tg α = DE-- = -4√- = 1√2-- BE -3- 3 3 √ -- 12 F G 3 √---= tg α = BG-- ⇒ BG = -12-FG . 3

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie FBG .

2 2 2 BF = FG + BG 3- 2 -3-- 2 147- 2 49- 2 48- 4 = FG + 144 ⋅F G = 144 ⋅FG = 48F G /⋅ 49 48 3 36 6 FG 2 = ---⋅--= --- ⇒ FG = --. 49 4 49 7

Pole trójkąta AGC jest więc równe

1 1 6 3 PAGC = -⋅ AC ⋅FG = --⋅1 ⋅--= -. 2 2 7 7

Sposób II

Jak już zauważyliśmy, trójkąty prostokątne FBG i DEB mają wspólny kąt ostry, więc są podobne. W szczególności,

√- √ -- √ -- BG BE 33- 3 3 -FG- = DE-- = -4- = 12-- ⇒ BG = -12-FG

Dalej postępujemy tak samo jak w sposobie I.

Sposób III

Tym razem liczymy pole trójkąta FBD na dwa sposoby. Zanim jednak to zrobimy, obliczmy długość krawędzi bocznej

∘ ------- ∘ --- ∘ ---2------2- 1- 49- -7-- BD = BE + DE = 3 + 16 = 3 = √ 3.

Zgodnie z zapowiedzią, liczymy teraz pole trójkąta FBD na dwa sposoby.

BF ⋅DE = 2PFBD = BD ⋅FG √ -- √ -- --3- -7-- √ -- --3- 6- 2 ⋅4 = √ 3 ⋅FG ⇒ F G = 2 3⋅ 7 = 7 .

Pole trójkąta AGC jest więc równe

1- 1- 6- 3- PAGC = 2 ⋅ AC ⋅FG = 2 ⋅1 ⋅7 = 7.

 
Odpowiedź: 3 7

Wersja PDF