/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 6445316

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wysokość stożka podzielono na trzy równe odcinki i przez punkty podziału poprowadzono płaszczyzny równoległe do podstawy. Oblicz stosunek objętości powstałych brył.

Rozwiązanie

Narysujmy przekrój osiowy opisanej sytuacji.

PIC

Jeżeli przez r i h oznaczymy promień podstawy i wysokość w najmniejszym stożku, to na mocy twierdzenia Talesa, kolejne stożki mają promienie i wysokości odpowiednio 2r i 2h oraz 3r i 3h . Objętości tych trzech stożków wynoszą zatem

1 2 V1 = --πr h 3 V2 = 1-π (2r )2(2h ) = 8V 1 3 1- 2 V3 = 3 π (3r ) (3h ) = 27V 1.

Stąd objętości otrzymanych brył (ściętych stożków), to

V1 V − V = 7V 2 1 1 V3 − V 2 = 19V1.

Szukane stosunki to 19:7:1.  
Odpowiedź: 19:7:1

Wersja PDF