Zadanie nr 6555769

W ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości i krawędzi podstawy wpisano walec, którego podstawa zawiera się w podstawie ostrosłupa, i którego oś symetrii pokrywa się z osią symetrii ostrosłupa. Jakie powinny być wymiary tego walca, aby jego objętość była największa możliwa? Oblicz tę największą objętość.

Rozwiązanie

Jeżeli objętość walca ma być maksymalna, to górna podstawa walca musi być styczna do ścian bocznych ostrosłupa. Naszkicujmy przekrój opisanej sytuacji płaszczyzną przechodzącą przez oś symetrii ostrosłupa i prostopadłą do jednej z krawędzi podstawy.

Jeżeli jest promieniem podstawy walca, a jego wysokością, to z podobieństwa trójkątów ACD i ABE mamy

AC--= AB-- DC EB a a− r a− r H 2- = -2---- ⇒ h = -2-a--⋅H = --(a− 2r). H h 2 a

Objętość walca jest więc równa

( ) V = πr 2 ⋅h = πr2 ⋅ H-(a − 2r) = πH r2 − 2r3 . a a

Sprawdzamy teraz kiedy funkcja

f(r) = r2 − 2-r3 a

określona dla ( a ) r ∈ 0,2 przyjmuje wartość największą. Liczymy pochodną

6 6 ( a) f′(r) = 2r − --r2 = − -r r− -- . a a 3

Widać stąd, że na przedziale a (0,3) funkcja jest rosnąca (pochodna jest dodatnia), a na przedziale a a (3, 2) malejąca (pochodna jest ujemna). Zatem największą objętość walca otrzymamy dla r = a3 . Wysokość walca jest wtedy równa