/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 6657587

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Objętość stożka jest równa 3 12π dm , a cosinus kąta α między wysokością, a tworzącą wynosi 0,8. Oblicz:

  • pole powierzchni bocznej stożka;
  • miarę kąta środkowego powierzchni bocznej stożka po rozwinięciu na płaszczyźnie.

Rozwiązanie

  • Zacznijmy od rysunku.
    PIC

    Podana informacja o kącie α powinna pozwolić nam związać ze sobą H i r . W połączeniu z informacją o objętości pozwoli to nam obliczyć H ,r,l .

    Aby związać ze sobą H i r fajnie byłoby mieć tgα . Obliczmy

    ∘ ---------- ∘ --------- √ ----- sinα = 1 − cos2 α = 1 − 0,8 2 = 0,36 = 0,6 tgα = sin-α = 0,7 5 = 3- cos α 4 r-= tg α h 3 r = 4h .

    Z podanej objętości mamy

    1 12π = -πr 2H 3 12 = 1-⋅-9-H 2 ⋅ H 3 1 6 64 = H 3 H = 4.

    Stąd r = 3 i l = √ 9+--16-= 5 .

    Liczymy pole powierzchni bocznej

    P = πrl = 15π b

     
    Odpowiedź: 15π dm 2

  • Długośc łuku a jest równa długości okręgu w podstawie stożka, więc wynosi
    2 πr = 6π .

    A cały okrąg o promieniu l ma długość

    2πl = 10π .

    Zatem

    -6π- = β-- ⇒ β = 6π . 10π 2π 5

     
    Odpowiedź: 6 ∘ 5π = 216

Wersja PDF