Zadanie nr 6727713

W stożek w którym kąt między tworzącą, a podstawą ma miarę wpisano kulę. Oblicz stosunek objętości stożka do objętości kuli.

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku. Od razu narysujmy sobie przekrój opisanej sytuacji.

Musimy jakoś wyznaczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC . Zrobimy to na dwa sposoby, ale wcześniej zauważmy, że mamy równości

CS-- AS = tg 2α ⇒ CS = r tg 2α AS r ----= cos2α ⇒ AC = ------. AC cos2α

Obliczmy jeszcze objętość stożka (w zależności od i ).

1 2 1 3 V = -πr ⋅CS = -πr tg2 α. 3 3

Sposób I

Standardowy sposób wyznaczenia promienia okręgu wpisanego w trójkąt to wzór na pole P = 1(a + b + c)r 2 . Żeby nie mylić z promieniem podstawy stożka, oznaczmy promień kuli wpisanej w stożek przez . Mamy zatem

2P AB ⋅SC 2r⋅r tg 2α rsin 2α R = ---ABC- = --------= --------r---= ---------- 2r + 2l 2r + 2l 2r + 2cos2α cos2α + 1

Zatem objetość kuli wynosi

4 4 ( rsin 2α ) 3 4 r3sin3 2α --πR 3 = --π ---------- = -π ------------3. 3 3 cos2α + 1 3 (cos 2α + 1)

Zatem szukany iloraz jest równy

1 3 3 -3πr--tg-2α--= ---tg-2α----= tg2-α(cos2-α+--1)-. 4π -r3sin32α-- 4--sin32α--- 4sin3 2α 3 (cos2α+ 1)3 (cos2α+ 1)3

Sposób II

Promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC możemy również wyliczyć z trójkąta SBO , gdzie - środek kuli wpisanej w stożek (zatem to dwusieczna kąta ). Mamy