/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 6799775

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym cosinus kąta między krawędziami bocznymi, które nie są sąsiednie jest równy 47 , a pole koła opisanego na podstawie ostrosłupa jest równe 6π . Oblicz cosinus kąta α między sąsiednimi krawędziami bocznymi ostrosłupa.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Promień okręgu opisanego na kwadracie w podstawie to po prostu połowa długości przekątnej, czyli √- r = a-2- 2 , gdzie przez a oznaczyliśmy długość krawędzi podstawy. Mamy zatem

( √ -) 2 2 2 a---2 a-π- 6 π = πr = π ⋅ 2 = 2 √ --- √ -- a2 = 1 2 ⇒ a = 12 = 2 3.

Spróbujemy teraz obliczyć długość b krawędzi bocznej ostrosłupa. Piszemy w tym celu twierdzenie cosinusów w trójkącie ACS .

AC 2 = SA 2 + SC 2 − 2SA ⋅SC ⋅cosβ √ -- (2 6 )2 = 2b2 − 2b2 ⋅ 4 / : 2 7 ( 4) 3b2 7 12 = b2 1− -- = ---- / ⋅ -- 7 7 √ -- 3 b2 = 28 ⇒ b = 2 7.

Teraz piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ABS .

AB 2 = SA 2 + SB 2 − 2SA ⋅ SB ⋅cos α 12 = 2b2 − 2b2 cosα = 56 − 56 cosα 44 11 5 6cos α = 44 ⇒ cos α = ---= ---. 56 14

 
Odpowiedź: 11 cosα = 14

Wersja PDF