/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 6984843

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Przez środki trzech różnych krawędzi sześcianu ABCDA 1B1C 1D1 wychodzących z wierzchołka B poprowadzono płaszczyznę, która wyznaczyła przekrój bryły – trójkąt KLM . Oblicz odległość wierzchołka B od tego przekroju, jeżeli wiadomo, że długość krawędzi sześcianu wynosi 8.

ZINFO-FIGURE

Rozwiązanie

Zauważmy, że na naroże KLMB możemy patrzeć jak na ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędzie boczne mają długość AB2-= 4 , a krawędzie podstawy długość √- AB-1= 8-2-= 4√ 2- 2 2 . Do obliczenia mamy długość wysokości BP tego ostrosłupa.

ZINFO-FIGURE

Sposób I

Patrzymy na trójkąt prostokątny KBP . Wiemy, że KB = 4 , a długość odcinka KP to 23 wysokości trójkąta równobocznego KLM , czyli

√ -- √ -- √ -- 2 4 2 ⋅ 3 4 6 KP = --⋅----------= ----. 3 2 3

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie KBP .

16⋅6 ( 6) 3 BP 2 = KB 2 − KP 2 = 16 − -----= 16 1 − -- = 16 ⋅-. 9 9 9

Zatem 4√3- BP = 3 .

Sposób II

Długość wysokości BP możemy też obliczyć licząc na dwa sposoby objętość ostrosłupa KLMB . Z jednej strony mamy

1 3VKLMB = PKBL ⋅BM = --⋅KB ⋅BL ⋅BM = 3 2. 2

Z drugiej strony,

(4√ 2)2 ⋅√ 3 √ -- 3VKLMB = PKLM ⋅BP = -------------⋅BP = 8 3⋅BP . 4

Mamy zatem

√ -- √ -- -32-- -4-- 4--3- 8 3 ⋅BP = 3VKLMB = 32 ⇒ BP = 8√ 3-= √ 3-= 3 .

 
Odpowiedź: √ - 4-33

Wersja PDF